课时提升作业(五十三)椭 圆(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.已知椭圆与双曲线=1 的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 10,那么椭圆的离心率等于( )A.B.C.D.【解析】选 B.因为双曲线的焦点在 x 轴上,所以设椭圆的方程为=1(a>b>0),因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 10,所以根据椭圆的定义可得 2a=10⇒a=5,则 c==4,e=选 B.2.(2015·烟台模拟)一个椭圆中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选 A.设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).由点 P(2,)在椭圆上知=1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即 2a=2×2c,又 c2=a2-b2,联立得 a2=8,b2=6.【加固训练 】已知两圆 C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切,和圆 C2 相外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为( )A.-=1B.+=1C.-=1D.+=1【解析】选 D.设圆 M 的半径为 r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,所以 M 的轨迹是以 C1,C2 为焦点的椭圆,且 2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为+=1.3.设 F1,F2 是椭圆 E:=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x=上一点,△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为( )A.B.C.D.【解析】选 C.设直线 x=a 与 x 轴交于点 Q,由题意得∠PF2Q=60°,|F2P|=|F1F2|=2c,|F2Q|=a-c,所以a-c=×2c,e=,故选 C.4.(2015·聊城模拟)椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是椭圆上的一点,l:x=,且PQ⊥l,垂足为 Q,若四边形 PQF1F2 为平行四边形,则椭圆的离心率的取值范围是( )A.(,1)B.(0,)C.(0,)D.(,1)【解析】选 A.设点 P(x1,y1),由于 PQ⊥l,故|PQ|=x1+,因为四边形 PQF1F2 为平行四边形,所以|PQ|=|F1F2|=2c,即 x1+=2c,则有 x1=2c->-a,所以 2c2+ac-a2>0,即 2e2+e-1>0,解得 e<-1 或 e>,由于 0b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,若椭圆 C 上恰有 8个不同的点 P,使得△F1F2P 为直角三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是( )A.(0,)B.(0,]C.(,1)D.[,1)【解析】选 C.由题意,问题等价于椭圆上存在四个点 P 使得直线 PF1 与直线 PF2 垂直,所以|OP|=c>b,即 c2>a2-c2,所以 a
