第 5 讲 利用导数研究不等式恒成立及相关问题 导数的综合应用训练提示:在讨论方程的根的个数、研究函数图象与 x 轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时,常常需要求出其中参数的取值范围,这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用.1.(2015 云南省第一次统一检测)已知函数 f(x)=ln x-.(1)求证:f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;(2)若 f[x(3x-2)]<- ,求实数 x 的取值范围.(1)证明:由已知得 f(x)的定义域为(0,+∞).因为 f(x)=ln x-,所以 f′(x)= -=.因为 x>0,所以 4x2+3x+1>0,x(1+2x)2>0.所以当 x>0 时,f′(x)>0.所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增.(2)解:因为 f(x)=ln x-,所以 f(1)=ln 1-=- .由 f[x(3x-2)]<- 得 f[x(3x-2)]0,得 x>1,所以 h(x)在(1,+∞)上为增函数;令 h′(x)=1-<0,得 00,即 2-f(x)>0.要证 x<,只需证 x[2-f(x)]<2+f(x),即证 f(x)>.记 k(x)=f(x)-=ln x-,则 k′(x)=.所以当 10,k(x)在(1,e2)上为增函数.所以 k(x)>k(1)=0,所以 ln x->0,所以 ln x>.所以当 10),可知 g(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,所以 g(x)≥g(1)=0,所以 f(x)≥- +-4x+成立.(3)解:由 x∈[e,+∞)知,x+ln x>0,所以 f(x)≥0 恒成立等价于 a≤在 x...
