高二数学 代数不等式的解法典型例题分析VIP免费

代数不等式的解法·例题 例 5-3-1 解不等式 16x+x4-x5＜16。解 原不等式可同解变形为x5-x4-16x+16＞0。左边分解因式，得同解不等式(x-1)(x2+4)(x-2)(x+2)＞0用数轴标根法，得不等式的解集为{x|-2＜x＜1 或 x＞2}。注 解实系数一元高次不等式，可先把最高次项的系数化为正数，并使右边为 0，再通过因式分解，将左边变形，最后用数轴标根法求解集。例 5-3-2 (1)已知关于 x 的不等式 ax2+bx+c＜0 的解集为(-∞，α)∪(β，+∞)。求ax2+bx+c＞的解集，并说明 b 的取值范围 a，c 的关系；(2)若 a＜0，解不等式(a-1)x2+b(2-a)x-b2＞0。解 (1)由题设知，a＜0。所以，(x-α)(x-β)＜0由此可知，当 α≠β 时，不等式 ax2+bx+c＞0 的解集为{x|α＜x＜β}；当 α=β 时，不等式无解。又由题设 a＜0，且 b2-4ac≥0，即 b2≥4ac。因此，当 c≥0 时，有 4ac≤0，这时 b 可取任意实数；当 c＜0 时，则 4ac＞0，这时用心 爱心 专心1(2)由于 a＜0，从而 a-1＜0，故所给不等式同解于若 b=0，此不等式即为 x2＜0。这时无解；解集为注 解一元二次不等式时，应充分利用二次函数的图象，通过形数结合，提高解题的速度。解 [法一] 移项、化简，原不等式同解于(x+1)x(x-1)(x-3)＜0由下图可知，原不等式的解集是{x|-1＜x＜0 或 1＜x＜3}[法二] 原不等式同解于不等式组用心 爱心 专心2故(Ⅰ)的解集为{x|1＜x＜3}；(Ⅱ)的解集为 x|-1＜x＜0。从而所求解集为{x|1＜x＜3}∪{x|-1＜x＜0}={x|1＜x＜3 或-1＜x＜0}注 将不等式同解变形为不等式组时，要注意区分解集的“交”、“并”关系。例 5-3-4 解下列不等式：解 (1)原不等式同解于不等式组解不等式组(Ⅰ)，得 0＜x＜1，(Ⅱ)无解。故原不等式的解集是{x|0＜x＜1}(2)令 t=x2-x，则原不等式化为此不等式的允许值集确定于不等式组另一方面，不等式(i)可化为用心 爱心 专心3注 解含根式的不等式，关键在于去掉根号，使之化为有理不等式。去掉二次根号的常用方法是平方法，有时也采用变量代换的方法或配成完全平方的方法。无论采用哪种方法，都要注意转化的同解性。例 5-3-5 解下列不等式：解 (1)原不等式可化为用心 爱心 专心4(2)原不等式的允许值集为{x|x≥3}。原不等式可化为两边立方，得化简并整理后即为解前一不等式组得 x＞4；后一不等式组无解。故原不等式的解集为{x|x＞4}。例 5-3-6 解关于 x 的不等式：当 a＜0 时，由(i)得 t＞1-a＞0，即当 ...