专题 4.3 两角和与差及二倍角的三角函数一、填空题1．已知 sin 2α＝，则 cos2＝【解析】依题意得 cos2＝cos αcos＋sin αsin2＝(cos α＋sin α)2＝(1＋sin 2α)＝.2．已知 cos＝－，则 cos x＋cos＝3．若 tan α＝2tan，则＝【解析】 ＝＝＝＝＝＝＝34．已知 sin＝，cos 2α＝，则 sin α＝【解析】由 sin＝得 sin α－cos α＝， ①由 cos 2α＝得 cos2α－sin2α＝，所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝， ②由①②可得 cos α＋sin α＝－， ③由①③可得 sin α＝.5．在斜三角形 ABC 中，sin A＝－cos B·cos C，且 tan B·tan C＝1－，则角 A 的值为6．已知锐角 α，β 满足 sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋·tan αtan β＝，则 α，β 的大小关系是【解析】 ∵α 为锐角，sin α－cos α＝，∴α>.又 tan α＋tan β＋tan αtan β＝，∴tan(α＋β)＝＝，∴α＋β＝，又 α>，∴β<<α. 7．函数 f(x)＝sin－2sin2x 的最小正周期是________．【解析】∵f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x)＝sin 2x＋cos 2x－＝sin－，∴f(x)的最小正周期 T＝＝π.答案：π8．已知 cos4α－sin4α＝，且 α∈，则 cos＝________.【解析】∵α∈，cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos 2α＝>0，∴2α∈，∴sin 2α＝1＝，∴cos＝cos 2α－sin 2α＝×－×＝.答案：9．已知 tan α，tan β 是方程 x2＋3x＋4＝0 的两根，且 α，β∈，则 α＋β＝________.【解析】由题意得 tan α＋tan β＝－3<0，tan α·tan β＝4>0，∴tan(α＋β)＝＝，且 tan α<0，tan β<0，又 α，β∈，故 α，β∈，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－.答案：－10．若 0<α<，－<β<0，cos＝，cos－＝，则 cos＝________.二、解答题11．已知函数 f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R.(1)求 f 的值；(2)若 sin α＝，且 α∈，求 f.解：(1)f＝cos2＋sincos＝2＋×＝.(2)因为 f(x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x＝＋(sin 2x＋cos 2x)＝＋sin，所以 f＝＋sin＝＋sin＝＋.因为 sin α＝，且 α∈，所以 cos α＝－，所以 f＝＋×－×＝.12．(2016·天津高考)已知函数 f(x)＝4tan xsin·cos－.(1)求 f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论 f(x)在区间上的单调性．23
