第十九章 推理与证明(数学归纳法)考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型 预测热度20132014201520162017数学归纳法利用数学归纳法证明有关结论23 题10 分23 题10 分解答题★★★分析解读 数学归纳法主要用来解决与正整数有关的命题,是命题的热点内容.通常与推理、数列、不等式证明、二项式定理等知识结合来考查逻辑推理能力.命题探究(1)由已知,得 f1(x)=f '0(x)='=-,于是f2(x)=f '1(x)='-'=--+,所以 f1=- , f2=- + .故 2f1+ f2=-1.(2)证明:由已知,得 xf0(x)=sin x,等式两边分别对 x求导,得 f0(x)+xf '0(x)=cos x,即 f0(x)+xf1(x)=cos x=sin,类似可得2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+π),3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sin,4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2π).下面用数学归纳法证明等式 nfn-1(x)+xfn(x)=sin对所有的 n∈N*都成立.(i)当 n=1 时,由上可知等式成立.(ii)假设当 n=k 时等式成立,即 kfk-1(x)+xfk(x)=sin.因为[kfk-1(x)+xfk(x)]'=kf 'k-1(x)+fk(x)+xf 'k(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x),'=cos·'=sin,所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin.因此当 n=k+1 时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式 nfn-1(x)+xfn(x)=sin对所有的 n∈N*都成立.令 x= ,可得 nfn-1+ fn=sin(n∈N*).所以=(n∈N*).五年高考考点 数学归纳法1.(2017 浙江,22,15 分)已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*).证明:当 n∈N*时,(1)00.当 n=1 时,x1=1>0.假设 n=k 时,xk>0,那么 n=k+1 时,若 xk+1≤0,则 00.因此 xn>0(n∈N*).所以 xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1.因此 00(x>0).函数 f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以 f(x)≥f(0)=0,因此-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)≥0,故 2xn+1-xn≤(n∈N*).(3)因为 xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1,所以 xn≥.由≥2xn+1-xn得- ≥2>0,所以 - ≥2≥…≥2n-1=2n-2,故 xn≤.综上,≤xn≤(n∈N*).2.(2014 广东节选,19,14 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且 S3=15.(1)求 a1,a2,a3的值;(2)求数列{an}的通项公式.解析 (1)依题有解得 a1=3,a2=5,a3=7.(2) Sn=2nan+1-3n2-4n,①∴当 n≥2 时,Sn...
