考点过关检测（十九）1．(2020 届高三·唐山联考)已知 F 为抛物线 E：y2＝4x 的焦点，过点 P(0,2)作两条互相垂直的直线 m，n，直线 m 交 E 于不同的两点 A，B，直线 n 交 E 于不同的两点 C，D，记直线 m 的斜率为 k.(1)求 k 的取值范围；(2)设线段 AB，CD 的中点分别为点 M，N，证明：直线 MN 过定点 Q(2,0)．解：(1)由题设可知 k≠0，所以直线 m 的方程为 y＝kx＋2，与 y2＝4x 联立，整理得 ky2－4y＋8＝0.①由 Δ1＝16－32k>0，解得 k<.直线 n 的方程为 y＝－x＋2，与 y2＝4x 联立，整理得 y2＋4ky－8k＝0，由 Δ2＝16k2＋32k>0，解得 k>0 或 k<－2.所以 k<－2 或 0b>0)短轴的一个端点与其两个焦点构成面积为 3 的直角三角形．(1)求椭圆 C 的方程；(2)过圆 E：x2＋y2＝2 上任意一点 P 作圆 E 的切线 l，l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，以 AB为直径的圆是否过定点，若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．解：(1)因为椭圆 C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以 b＝c，·2c·b＝b2＝3，又因为 a2＝b2＋c2，所以 a2＝6，b2＝3.故椭圆 C 的方程为＋＝1.(2)圆 E 的方程为 x2＋y2＝2，设 O 为坐标原点，① 当直线 l 的斜率不存在时，不妨设直线 AB 的方程为 x＝，A(，)，B(，－)，所以∠AOB＝90°，所以以 AB 为直径的圆过坐标原点 O(0,0)．② 当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为直线与相关圆相切，所以 d＝＝＝，所以 m2＝2＋2k2.联立方程组消去 y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，则 Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－6)＝8(6k2－m2＋3)＝8(4k2＋1)>0，且 x1＋x2＝－，x1x2＝，所以 x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝＝0，所以OA⊥OB，所以以 AB 为直径的圆恒过坐标原点 O(0,0)．综合①②可知，以 AB 为直径的圆恒过坐标原点 O(0,0)．3．(2019·柳州联考)已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 x 轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为 5.(1)求...
