（浙江专用）高考数学二轮复习 专题规范练2 立体几何问题 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

规范练二 立体几何问题1．如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝60°，N 是 BC 的中点，将梯形 ABCD 绕AB 旋转 90°，得到梯形 ABC′D′.(1)求证：AC⊥平面 ABC′；(2)求证：C′N∥平面 ADD′；(3)求二面角 A－C′N－C 的余弦值．(1)证明 AD＝BC，N 是 BC 的中点，∴AD＝NC，又 AD∥BC，∴四边形 ANCD 是平行四边形，∴AN＝DC，又∠ABC＝60°，四边形 ABCD 为等腰梯形，∴AB＝BN＝AD，∴四边形 ANCD 是菱形，∴∠ACB＝∠DCB＝30°，∴∠BAC＝90°，即 AC⊥AB，又平面 C′BA⊥平面 ABC，平面 C′BA∩平面 ABC＝AB，∴AC⊥平面 ABC′.(2)证明 AD∥BC，AD′∥BC′，AD∩AD′＝A，BC∩BC′＝B，∴平面 ADD′∥平面 BCC′，又 C′N⊂平面 BCC′，∴C′N∥平面 ADD′.(3)解 AC⊥平面 ABC′，AC′⊥平面 ABC.如图建立空间直角坐标系，设 AB＝1，则 B(1,0,0)，C(0，，0)，C′(0,0，)，N，∴BC′＝(－1,0，)，CC′＝(0，－，)，设平面 C′NC 的法向量为 n＝(x，y，z)，则即取 z＝1，则 x＝，y＝1，∴n＝(，1,1)． AC′⊥平面 ABC，∴平面 C′AN⊥平面 ABC，又 BD⊥AN，平面 C′AN∩平面 ABC＝AN，∴BD⊥平面 C′AN，BD 与 AN 交于点 O，则 O 为 AN 的中点，O，∴平面 C′AN 的法向量OB＝.∴cos 〈n，OB〉＝＝，由图形可知二面角 AC′NC 为钝角，所以二面角 AC′NC 的余弦值为－.2．如图，四边形 ABCD 为矩形，PD⊥平面 ABCD，PD∥QA，QA＝AD＝PD.1(1)求证：平面 PQC⊥平面 DCQ；(2)若二面角 Q－BP－C 的余弦值为－，求的值．(1)证明 设 AD＝1，则 DQ＝，DP＝2，又 PD∥QA，∴∠PDQ＝∠AQD＝45°，在△DPQ 中，由余弦定理可得 PQ＝.∴DQ2＋PQ2＝DP2，∴PQ⊥DQ，又 PD⊥平面 ABCD，∴PD⊥DC， CD⊥DA，DA∩PD＝D，∴CD⊥平面 ADPQ. PQ⊂平面 ADPQ，∴CD⊥PQ，又 CD∩DQ＝D，∴PQ⊥平面 DCQ.又PQ⊂平面 PQC，所以平面 PQC⊥平面 DCQ.(2)解 如图，以 D 为坐标原点，DA，DP，DC 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 D－xyz.设 AD＝1，AB＝m(m>0)．依题意有 D(0,0,0)，C(0,0，m)，P(0，2,0)，Q(1,1,0)，B(1,0，m)，则CB＝(1,0,0)，BP＝(－1,2，－m)，PQ＝(1，－1,0)，设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 PBC 的法向量，则即因此可取 n1＝(0，m,2)．设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 PBQ 的法向量，则即可取 n2＝(m，m,1)．...