第 2 讲 函数与方程、数形结合思想一、函数与方程思想函数思想方程思想函数思想是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想方程思想就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得到解决的思想函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系应用一 函数与方程思想在不等式中的应用[典型例题] 设不等式 2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2 的一切实数 m 都成立，则 x 的取值范围为________．【解析】 问题可以变成关于 m 的不等式(x2－1)m－(2x－1)<0 在 m∈[－2，2]上恒成立，设 f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，则即解得
0，则 f′(x)＝ex－1>0，所以 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且 f(0)＝0，f(x)>0，所以 ex－1>x，即 ea－1>a.又 y＝ax(0ae，从而 ea－1>a>ae.2．关于 x 的不等式 x＋－1－a2＋2a>0 在 x∈(2，＋∞)上恒成立，则 a＝________．解析：关于 x 的不等式 x＋－1－a2＋2a>0 在 x∈(2，＋∞)上恒成立⇔函数 f(x)＝x＋在x∈(2，＋∞)上的值域为(a2－2a＋1，＋∞)．因为函数 f(x)＝x＋在(2，＋∞)上为增函数，所以 f(x)>2＋＝4，即 f(x)在(2，＋∞)上的值域为(4，＋∞)，所以 a2－2a＋1＝4，解得 a＝－1 或 a＝3.答案：－1 或 3应用二 函数与方程思想在数列中的应用[典型例题] 已知数列{an}是各项均为正数的等差数列．(1)若 a1＝2，且 a2，a3，a4＋1 成等比数列，求数列{an}的通项公式 an；(2)在(1)的条件下，数列{an}的前 n 项和为 Sn，设 bn＝＋＋…＋，若对任意的 n∈N*，不等式 bn≤k 恒成立，求实数 k 的最小值．【解】 (1)因为 a1＝2，a＝a2(a4＋1)，又因为{an}是正项等差数列，故 d≥0，所以(2＋2d)2...
