考点过关检测（二十六）1．(2019·亳州联考)已知抛物线 E：y2＝2px(p>0)与过点 M(a,0)(a>0)的直线 l 交于A，B 两点，且总有 OA⊥OB.(1)确定 p 与 a 的数量关系；(2)若|OM|·|AB|＝λ|AM|·|MB|，求 λ 的取值范围．解：(1)设 l：ty＝x－a，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去 x，得 y2－2pty－2pa＝0.∴y1＋y2＝2pt，y1y2＝－2pa，由 OA⊥OB 得 x1x2＋y1y2＝0，即＋y1y2＝0，∴a2－2pa＝0. a>0，∴a＝2p.(2)由(1)可得|AB|＝|y1－y2|＝2p·.|AM|·|MB|＝AM·MB＝(a－x1)(x2－a)－y1y2＝－x1x2＋a(x1＋x2)－a2－y1y2＝a·－a2＝4p2(1＋t2)． |OM|·|AB|＝λ|AM|·|MB|，∴a·2p·＝λ·4p2(1＋t2)，∴λ＝＝. t2≥0，∴λ∈(1,2]．故 λ 的取值范围为(1,2]．2．(2019·佛山模拟)已知中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆 M 的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点 A 与左、右两焦点 F1，F2构成的三角形中面积的最大值为.(1)求椭圆 M 的标准方程；(2)若 A 与 C 是椭圆 M 上关于 x 轴对称的两点，连接 CF2与椭圆的另一交点为 B，求证：直线 AB 与 x 轴交于定点 P，并求PA·F2C的取值范围．解：(1)设椭圆 M 的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则解得所以椭圆 M 的标准方程是＋＝1.(2)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x1，－y1)，直线 AB：y＝kx＋m.将 y＝kx＋m，代入＋＝1 得，(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.则 x1＋x2＝－，x1x2＝.因为 B，C，F2共线，所以 k＝k，即＝，整理得 2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，所以 2k·－(m－k)·－2m＝0，解得 m＝－4k.所以直线 AB：y＝k(x－4)，与 x 轴交于定点 P(4,0)．因为 y＝3－x，所以PA·F2C＝(x1－4，y1)·(x1－1，－y1)＝x－5x1＋4－y＝x－5x1＋1＝2－.因为－2
