题组层级快练(五十七)1．若过抛物线 y＝2x2的焦点的直线与抛物线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2＝( )A．－2 B．－C．－4 D．－答案 D解析 由 y＝2x2，得 x2＝y
其焦点坐标为 F(0，)，取直线 y＝，则其与 y＝2x2 交于A(－，)，B(，)，∴x1x2＝(－)·()＝－
2．已知椭圆 x2＋2y2＝4，则以(1，1)为中点的弦的长度为( )A．3 B．2C
答案 C解析 设 y－1＝k(x－1)，∴y＝kx＋1－k
代入椭圆方程，得 x2＋2(kx＋1－k)2＝4
∴(2k2＋1)x2＋4k(1－k)x＋2(1－k)2－4＝0
由 x1＋x2＝＝2，得 k＝－，x1x2＝
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4－＝
∴|AB|＝·＝
3．已知双曲线 x2－＝1，过点 A(1，1)的直线 l 与双曲线只有一个公共点，则 l 的条数为( )A．4 B．3C．2 D．1答案 A解析 ①斜率不存在时，方程为 x＝1 符合．② 设斜率为 k，y－1＝k(x－1)，kx－y－k＋1＝0
(4－k2)x2＋(2k2－2k)x－k2＋2k－5＝0
当 4－k2＝0，k＝±2 时符合；当 4－k2≠0，Δ＝0，亦有一个答案，∴共 4 条．4．已知顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线与直线 y＝2x＋1 交于 P、Q 两点，若|PQ|＝，则抛物线的方程为( )A．y2＝－4x B．y2＝12xC．y2＝－4x 或 y2＝12x D．以上都不对答案 C解析 由题意设抛物线的方程为 y2＝2px，联立方程得消去 y，得 4x2－(2p－4)x＋1＝0，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1＋x2＝，x1x2＝
|PQ|＝|x1－x2|＝·＝·＝，所以＝，p2－4p－12＝0，p＝－2 或 6，所以 y2＝－4x 或
