课时作业 17 利用导数证明不等式1．已知函数 f(x)＝aexlnx 的图象在 x＝1 处的切线与直线 x＋2ey＝0 垂直．(1)求 a 的值；(2)证明：xf(x)>1－5ex－1.解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a，则由题意知 f(x)的图象在 x＝1 处的切线的斜率 k＝f′(1)＝ae＝2e，所以 a＝2.(2)证明：要证明 xf(x)>1－5ex－1，即证明 2xexlnx>1－5ex－1，x>0，即证明 2xlnx＋>，令 g(x)＝2xlnx＋，则 g′(x)＝2(lnx＋1)．当 0
时，g′(x)>0.所以 g(x)＝2xlnx＋在上为减函数，在上为增函数，所以 g(x)min＝g＝.因为 y＝x在(0，＋∞)上为减函数，所以 x<0＝1，所以 g(x)≥>1>，所以 xf(x)>1－5ex－1.2．已知 f(x)＝x2－a2lnx，a>0.(1)求函数 f(x)的最小值；(2)当 x>2a 时，证明：>a.解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－＝.当 x∈(0，a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以当 x＝a 时，f(x)取得极小值，也是最小值，且 f(a)＝a2－a2lna.(2)证明：由(1)知，f(x)在(2a，＋∞)上单调递增，则所证不等式等价于 f(x)－f(2a)－a(x－2a)>0.设 g(x)＝f(x)－f(2a)－a(x－2a)，则当 x>2a 时，g′(x)＝f′(x)－a＝x－－a＝>0，所以 g(x)在(2a，＋∞)上单调递增，当 x>2a 时，g(x)>g(2a)＝0，即 f(x)－f(2a)－a(x－2a)>0，故>a.3．已知函数 f(x)＝(x2－x－1)ex.(1)若 f(x)在区间(a，a＋5)上有最大值，求整数 a 的所有可能取值；(2)求证：当 x>0 时，f(x)<－3lnx＋x3＋(2x2－4x)ex＋7.解：(1)f′(x)＝(x2＋x－2)ex＝(x＋2)(x－1)ex，当 x<－2 时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当－21 时，f′(x)>0，f(x)单调递增．由题意知 a<－20，g(x)单调递增，当 x>2 时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以 g(x)的最大值为 g(2)＝e2.当 01 时，h′(...
