3.1 双曲线及其标准方程1.在方程 mx2-my2=n 中,若 mn<0,则方程表示的曲线是( )A.焦点在 x 轴上的椭圆B.焦点在 x 轴上的双曲线C.焦点在 y 轴上的椭圆D.焦点在 y 轴上的双曲线解析:将方程化为=1,由 mn<0,知->0,所以方程表示的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线.答案:D2.椭圆=1 和双曲线=1 有相同的焦点,则实数 n 的值是( )A.±5B.±3C.5D.9解析:由题意知,34-n2=n2+16,∴2n2=18,n2=9,∴n=±3.答案:B3.平面内动点 P(x,y)与 A(-2,0),B(2,0)两点连线的斜率之积为 ,动点 P 的轨迹方程为( )A.+y2=1B.-y2=1C.+y2=1(x≠±2)D.-y2=1(x≠±2)解析:依题意有 kPA·kPB= ,即(x≠±2),整理得-y2=1(x≠±2).答案:D4.设点 P 在双曲线=1 上,若 F1,F2为双曲线的两个焦点,且|PF1|∶|PF2|=1∶3,则△F1PF2的周长等于( )A.22B.16C.14D.12解析:由双曲线定义知|PF2|-|PF1|=6,又|PF1|∶|PF2|=1∶3,由两式得|PF1|=3,|PF2|=9,进而易得周长为 22.答案:A15.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A.x2-=1B.-y2=1C.y2-=1D.=1解析:由双曲线定义知,2a==5-3=2,∴a=1.又 c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3,因此所求双曲线的标准方程为 x2-=1.答案:A6.(2015 北京高考)已知(2,0)是双曲线 x2-=1(b>0)的一个焦点,则 b= . 解析:由题意知 c=2,a=1,b2=c2-a2=3.又 b>0,所以 b=.答案:7.经过点 P(-3,2)和 Q(-6,-7),且焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是 . 解析:设双曲线的方程为 mx2+ny2=1(mn<0),则解得故双曲线的标准方程为=1.答案:=18.已知双曲线的两个焦点 F1(-,0),F2(,0),P 是双曲线上一点,且=0,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程为 . 解析:由题意可设双曲线方程为=1(a>0,b>0).由=0,得 PF1⊥PF2.2根据勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,即|PF1|2+|PF2|2=20.根据双曲线定义有|PF1|-|PF2|=±2a.两边平方并代入|PF1|·|PF2|=2,得 20-2×2=4a2,解得 a2=4,从而 b2=5-4=1,所以双曲线方程为-y2=1.答案:-y2=19.导学号 01844023 双曲线 C 与椭圆=1 有相同焦点,且经过点(,4).(1)求双曲线 C 的方程;(2)若 F1,F2是双曲线 C 的两个焦点,点 P 在双曲线 C 上,且∠F1PF2=120°,求△F1PF2的面积.解(1)椭圆的焦点为 F1(0,-3),F2(0,3),设双曲线的方程为=1,则 a2+b2=32=9.①又双曲线经过点(,4),所以=1,②解①②得 a2=4,b2=5 或 a2=36,b2=-27(舍去),所以所求双曲线 C 的方程为=1.(2)由双曲线 C 的方程,知 a=2,b=,c=3.设|PF...
