分数认识的三次深化与发展王永一、分数与除法在自然数集合里，加法和乘法运算总是可以实施，但减法和除法却不行；引入分数，自然数集合扩充为非负有理数集合后，除法运算才变得畅通无阻。例如，3÷4＝？在自然数集合里找不到一个与3÷4对应的自然数，而在非负有理数集合里却找到了一个且只有一个分数，与3÷4对应，即3÷4＝。如何理解3÷4＝的数学意义呢？⑴表示3是4的。其中3与4表示不同的两个量，而是量数，是以4为基准量去度量3所得的结果。一般地，a、b都是非零的自然数时，a÷b＝。⑵表示3平均分成4份，每份是；或者的4倍是3。这里，3和都表示量，而4是量数。事实上，任意两个正有理数相除，都具有上述两种数学意义。例如“3÷＝？”也有下面两种数学意义：⑴3是的几分之几？从上图，可以看出：3÷＝。⑵3平均分成份，每份是多少？因为是5个的，所以先把3平均分成5小份，每一小份即是所求一份的，如下图所示。30114300ba0430010101？00311从上图，也可以看出：3÷＝。注意：a、b都不是0，但只要有一个是分数，那么a÷b≠。所以，如果忽视必要的前提，笼统地说被除数即分子、除数即分母，是不正确的。当且仅当a、b都是不为零的自然数时，等式a÷b＝才成立。这个命题还告诉我们，分数可以转化为除法，这为分数化为小数打通了一条重要途径。二、百分数百分数是否就是分母是100的分数？如果是，又何必需要这个新概念呢？事实上，百分数是在分数应用的实践中产生和发展起来的。我们先来解决下面的实际问题：在一场足球比赛中，猛虎队获得一次罚点球的机会，他们准备派下列三名队员中的一名去罚点球。下面是这三名队员在过去比赛中罚点球的成绩统计表。队员踢点球的次数罚中的次数3号队员18205号队员21257号队员1312从这个实际问题抽象成的数学问题是：比较分数、、的大小。解法1：（化为同分母的分数进行比较）＝，＝，＝。因为＞＞，所以＞＞。由此可知，7号队员以往罚点球的成绩最佳，派他去罚点球是明智的选择。不过，上面三个分数分母的最小倍数（1300）是比较大的，因此通分不仅比较费劲，也容易出差错。解法2：（化为小数进行比较）？＝18÷20＝0.90，＝21÷25＝0.84，＝12÷13＞0.923。因为0.923＞0.90＞0.84，所以＞＞。化为小数，虽然可以借以比较分数的大小，但小数却失去了原来分数的特性，即表示量的倍比关系的意义。因此，需要寻找既能保持分数的特性，计算又比较简便的解题方法。就在这种需要的驱动下，百分数应运而生了。新的办法就是把分母统统变成100。把与化为分母是100的分数不难：＝，＝。问题在于怎样把也变成分母是100的分数呢？设所化成的分数的分子为x，即＝，两边同乘100，得x＝×100，x≈92.3。所以，≈。这个结果与前面学过的分数不同的地方是，它的分子是一个小数。的意义是：如果把13平均分成100份，那么12大约占其中的92.3份。也就是说，这种分数只能表示两个量的倍比关系，而不具有表示量的功能。于是，人们把形如，，，……等，只能表示量的倍比关系，不能表示量的分数，统称为百分数；并引入新的符号“％”（叫做百分号），把百分数记为84％，90％，92.3％,……，以便从形式上与前面学过的分数加以区别。显然，84％＜90％＜92.3％，通过百分数的大小比较，也说明是7号队员点球的罚中率最高。诚然，把分数化为百分数还有更简捷的途径，即通过小数转化。如，≈0.923＝92.3％。但是这种方法，对于理解百分数的意义，不如方程的方法直观。三、比比，顾名思义，与人类比较事物的实践活动密切相关。比的概念是在比较不同的量的倍比关系的实践中产生和发展的。下面先探讨一个现实问题——平面图画得像不像。例1羽毛球场是长18m、宽9m的长方形，如下图A。⑴在B、C、D、E、F等图形中，你认为哪几个长方形的形状像图A，哪几个不像？⑵对形状与图A（羽毛球场）相同的长方形，请你比较它们的长和宽，能发现其中的规律吗？⑶在图A内，请你画一个形状与图A相同的长方形，且这个长方形的长是图A的长的。任何正方形的形状都一样，但长方形的形状却有差异。图A恰好可以分成两个大小相同的正方形。发现图A的这个特性，能帮助我们找出其他形状与图A相同的长方形，如...
