运用曲线系解曲线方程问题 专题辅导 不分版本考试卷VIP免费

运用曲线系解曲线方程问题张宽锁在《解析几何》中，有关求曲线方程的问题，大都采用待定系数法求解，而采取这种方法有时未知数多，解方程组比较麻烦，有些还要分类讨论，因此，有没有一些更简便的方法解决这些问题呢？本文就此谈谈曲线系方程的应用。引入：高中《数学》第二册（上）P88第 4 题是：如果两条曲线方程是 f1(x，y)＝0 和f2(x，y)＝0，它们的交点是 P（x0，y0），求证：方程 f1(x，y)＋λf2（x，y）＝0 的曲线也经过点 P（λ 是任意常数）。由此结论可得出：经过两曲线 f1(x，y)＝0 和 f2（x，y）＝0 交点的曲线系方程为：f1（x，y）＋λf2（x，y）＝0。利用此结论可得出相关曲线系方程。一. 直线系概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。它的方程称直线系方程。几种常见的直线系方程：（1）过已知点 P（x0，y0）的直线系方程 y－y0＝k（x－x0）（k 为参数）（2）斜率为 k 的直线系方程 y＝kx＋b（b 是参数）（3）与已知直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程 Ax＋By＋λ＝0（λ 为参数）（4）与已知直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线系方程 Bx－Ay＋λ＝0（λ 为参数）（5）过直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ 为参数）【例 1】已知直线 l1：x＋y＋2＝0 与 l2：2x－3y－3＝0，求经过的交点且与已知直线 3x＋y－1＝0 平行的直线 L 的方程。解：设直线 L 的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0。∴（λ＋2）x＋(λ－3)＋2λ－3＝0。 L 与直线 3x＋y－1＝0 平行，∴。解得：λ＝。所以直线 L 的方程为：15x＋5y＋16＝0【例 2】求证：m 为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 恒过一定点 P，并求 P点坐标。分析：不论 m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。解：由原方程得m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①即，∴直线过定点 P（9，－4）注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。二. 圆系概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：（x－x0）2＋（y－y0）2＝r2，x0、y0为常数，r 为参数。（2）过两已知圆 C1：f1（x，y）＝x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0。和 C2：f2（x，y）＝x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 的交点的圆系方程为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1）若 λ＝－1 ...