立几和解几中最值问题解法的类比 陈华云 几何学中的最值问题与几何图形的性质相关联，常常通过画图、几何变换和利用几何中不等量的关系来求解。建立函数关系，把几何问题转化为代数问题（即代数化）进行求解，也是一种重要的思想方法。一、“展平法”是解决多面体和旋转体表面距离最短问题的有效手段 例 1. 已知边长为 1 的正方体 ABCD，一只蚂蚁沿其表面从 A 点爬到 C1点，求其最短距离。 （如图 1 将几何体展平有三种形式，只需比较 AE、AF、AG 的大小即可）图 1 引申 1：已知长方体 ABCD－的长、宽、高分别为 3、2、1，求沿其表面从 A 点到 C1点的最短距离。 引申 2：若引申 1 中长、宽、高分别设为，结果如何？二、利用曲线的定义和性质求解析几何中的最值问题是其特有的方法 例 2. 如图 2，已知 P 是椭圆上的动点，求它到左焦点 F1的最小距离和最大距离。图 2 解：由椭圆的第一定义知， 在△中， 则 故 当且仅当点 P 与椭圆的左（右）顶点重合时 左（右）边的等号成立。 引申：如图 3，已知椭圆的方程为，是椭圆的左、右焦点，点是椭圆内的点，而点 P 为椭圆上的动点，求的最值。图 3 解：由椭圆第一定义知： 在△中， 则 当且仅当点 F2在线段 PM 上时取等号。 同理：， 当且仅当点 M 在线段 PF2上时取等号。 引申 2：如图 4，已知椭圆的方程为，是椭圆的左、右焦点，e 为其离心率，直线 l 为其左准线，点 M（）是椭圆内的点，而点 P 为椭圆上的动点，求的最小值。图 4 解：由点 P 向 l 作垂线，垂足为 H， 当且仅当 M、P、H 三点共线时取等号。三、“引变量，建函数”，运用配方法求最值 例 3. 直平行六面体底面两邻边之和为 a，底面的锐角为 30°，侧面积为 S，求其体积的最大值。 解：设底面一边长为 x，则其邻边长为（如图 5）图 5 又设直平行六面体的高为 h、体积为 V 则。 ∴ 故当且仅当时，。四、“选变量，寻定值”，运用基本不等式求最值 例 4. 如图 6，在椭圆上求点 P，使过点 P 的切线与两坐标轴围成的三角形的面积最小。图 6 解：设点 P，则其切线方程为。 故其与两坐标轴的交点分别为 则 当且仅当点 P 为时取等号。五、“取变量，化形式”，运用三角函数求最值 例 5. 设 AB 为过椭圆中心的弦，F1为其左焦点，求△ABF1的最大面积。 解：设点 A（5），则点 而，则 当
