2005-2006 年上学期江苏省横林中学高一数学竞赛试卷一． 选择题（10*4=40）1.设则集合恒满足的关系为( )A. B. C. D.2.中，分别是角的对边，( )A. B. C. D.3.设 ，对于所有 均满足的函数是( )A. B. C. D.4.已知都是长度小于 的向量，对于任意非负实数下列结论正确的是( )A. B.C. D.不能确定的大小关系5.设的三个内角成等差数列，其外接圆半径为 ，且有则此三角形的面积为 ( )A. B. C.或 D.或6.函数的图象关于轴对称，则( )A. B. C. D.7.数列中，且，则( )A. B. C. D.8.设函数对于满足的一切，则 的取值范围是( )A. B. C. D.9.设函数，则它的值域为( )A. B. C. D. 10.函数的最小值是( )A. B. C. D.二． 填空题（4*5=20）11.中 ，，分 别 在 边上 ， 且，分 别 是 线 段的中点，则直线与直线所成的较小的角的大小为 。12.设，则 。13.个自然数的和等于， 是它们的最大公约数，则 的最大值是 。14.平面上有 个圆，每两个都相交于两点，任三个圆无公共点。它们将平面分成块区域，如等，则 。三． 解答题（6+7+7+10+10=40）15.已知数列满足16.设17.设当且仅当时，等号成立。18.在直角内有一个内接正方形，它的一边在的斜边上。① 设表示的面积和正方形的面积② 当 固定而 变化时，求当取得最小值时的19.已知，且构成一个数列，又 ①求数列的通项公式 ②证明参考答案12345678910BDDACABABC1. B 取，则错；又取则也错。事实上，若2. D 及正弦定理有，因为，得3. D 4. A 5. C 当6. A 7. B 递推式为，所以8. A （一）当时，函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴是取，取进行检验：① 当,② 当时，则，因而对；（二）当时，显然对；（三）当时，取。综上选 A9. B 定义域为①当时，,所以② 当时，所以10. C 在平面直角坐标系中，点则11.12.于是13.而，故14.通过观察知得出规律是首项为公差为的等差数列，即15.解：，则 ①又即 ②由①，②得 (本题也可用特征根法)16.解：令由 于故 所 求 的 范 围 是17 解：对于即 同理，两式相加得当且仅当（即）时等号成立。特别地，当时，原不等式得证。18.解：①,即通项② 证明： 则有 两式相减得19. 解 ： ① 设的 内 接 正 方 形 为， 边 长 为, 因在 直 角又所以有② 设 (1)所以 (2)，(2)式可化为① 得由 (3) 与 (4) 得， 这 不 可 能 ， 所 以 (5) 根 号 前 只 能 取 负 号 ， 所 以。
