1 一、参考例题［例 1］如下图，△ ABC 中，点 O 是 AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN∥BC，设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E，交∠ BCA 的外角平分线于点F. (1)求证： EO=FO(2)当点 O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并说明你的结论 . 分析：(1)要证明 OE=OF，可借助第三条线段OC，即证：OE=OC，OF=OC，这两对线段又分别在两个三角形中，所以只需证△OEC、△OCF 是等腰三角形，由已知条件即可证明 . (2)假设四边形 AECF 是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角. 由已知可得到：∠ ECF=90° ，由 (1)可证得 OE=OF，所以要使四边形 AECF是矩形 ,只需 OA=OC. 证明： (1) CE、CF 分别是∠ ACB、∠ ACD 的平分线 . ∴∠ ACE=∠BCE，∠ACF=∠DCF MN∥BC∴∠OEC=∠ECB，∠ OFC=∠FCD∴∠ ACE=∠OEC，∠ACF=∠OFC∴OE=OC，OF=OC∴OE=OF(2)当点 O 运动到 AC 的中点时，即 OA=OC又由 (1)证得 OE=OF∴四边形 AECF 是平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形) 由(1)知：∠ ECA+∠ACF=21 ∠ACB+21 ∠ACD=21(∠ACB+∠ACD)=90°即∠ ECF=90°∴四边形 AECF 是矩形 . 因此：当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形AECF 是矩形 . ［例 2］如下图，已知矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O，OF⊥AD 于F，OF=3 cm，AE⊥BD 于 E，且 BE∶ED=1∶3，求 AC 的长 . 2 分析：本题主要利用矩形的有关性质，进行计算.即：由矩形的对角线互相平分且相等； 可导出 BE=OE，进而得出 AB=AO，即得出 BE=OF=3 cm，求出 BD的长，即 AC 的长 . 解： 四边形 ABCD 是矩形 . ∴AC=BD,OB=OD=OA=OC又 BE∶ED=1∶3 ∴BE∶BO=1∶2 ∴BE=EO又 AE⊥BO∴△ ABE≌△ ADE∴AB=OA 即 AB=AO=OB∴∠ BAE=∠EAO=30° ，∠ FAO=30°∴△ ABE≌△ AOF∴BE=OF=3 cm,∴BD=12 cm ∴AC=BD=12 cm 二、参考练习1.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6 cm,BC=8 cm，将纸片沿 EF 折叠，使点 B 与 D 重合，求折痕 EF 的长 . 解：连结 BD、BE、DF由折叠的意义可知： EF⊥BD，EF 平分 BD. ∴BE=ED,BF=FD 四边形 ABCD 为矩形∴AB=CD，AD=BC，∠ C=90° ， AD∥BC∴∠ EDO=∠FBO 点 B 和 D 重合∴BO=DO，∠ BOF=∠DOE∴△ BOF≌△ DOE∴ED=BF，∴ ED=BF=FD=BE∴四边形 BFDE 是菱形S 菱形=21 ×BD×EF=BF×CD BF=DF，∴可设 BF=DF=...
