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《线性代数及其应用》一、行列式1、余子式，代数余子式2、几个定理 ( 定理 2.2 ，2.3 ，2.4) 按行展开：1122,1,2,,ALLiiiiinina Aa Aa Ain按列展开：1122,1,2,,ALLjjjjnjnja Aa Aa Ajn定理 2.4 11220,Lijijinjna Aa Aa Aij ；11220,Lijijninja Aa Aa Aij . 3、行列式的性质(1) T|| ||AA. (2) 若行列式的某一列(行 ) 可以拆成两列 ( 行) 之和，则行列式可以拆成两个行列式之和，即111,,,,,,,,,,,,jjnjnjnLLLLLL. (2) 若行列式有两列( 行) 成比例，则行列式等于零. (3) 初等变换性质1;;.iiijjiijijkk+l+lk或或或rcrrccrrccABABABABABAB4、行列式计算：三角化法( 性质 )；降阶法 ( 性质 +展开定理 ) ；范德蒙德、三对角行列式的结论. 5、分块矩阵的行列式AOACAOA BOBOBDB( 1)OACAOAA BBOBOBDmmnn二、矩阵1、矩阵及其运算( 加法、数乘、乘法、幂、转置、方阵的行列式、分块运算) (1) 乘法的 结合律(2) 方阵的幂的求解3.75.9二项式定理 -- 例矩阵列行-- 例 3.8 、例 3.38可对角化例(3) 转置的性质：TTTTTTTTTT()()()()AAABABAAABB Akk(4) 方阵的行列式：T|| ||;|||;|| ||||.n| kkAAAAABAB(5) 分块运算 (转置、乘法 -- 例 3.13 、3.14) 2、初等变换及初等矩阵(1) 左行右列 ( 矩阵的初等变换可用矩阵乘法来表示) [ ( )];[( )];[];[ ( )];[( )];[].rrrrrcccccABEABABEABABEABACAECACAECACAEC初等行变换初等列变换iijijijiijkm+lmmkn+lnni kij li, ji kij li, j(2) 初等矩阵都是可逆的，且初等矩阵的逆仍是初等矩阵，即1111( )( ) ;( )() ;,,.EEEEEEki kiij lijli ji j3、可逆矩阵(1) 定义、性质1111T11T111111()()()()AAAAAAAAABBA||| |()kk(2) 伴随矩阵1|||| ||()()()nrrA AAAAEAAAA与的关系 书111页38题(3) 判定： A 可逆||0A(4) 逆矩阵的求法11(3.7),,行伴随矩阵法 :及运算律命题初等变换法 :AAAABEA EE A(5) 分块矩阵的逆111111,.AOOAAOOBOBBOOBAO (6) 矩阵方程的求解：AXC ，其中 A 可逆 . 法 1 1XA C . 法 2 1[ ,][,]A CEXXA C初等行变换n. 4、矩阵的秩与矩阵的相抵(1) 矩阵的秩与性质(101 页， 105-107 页) ① 0()min{, }rm nA；② 子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩；③()(),0;r krkAA④T()()rrAA ；⑤( )()rrrAOABOB；⑥()()()rrrABAB ；⑦()()()()(ABABArrnrr或())Br；若 ABO ，则()()r+rnAB...