水尾中学中考专项训练（压轴题）答案 1．（四川模拟）如图，Rt△ABC 内接于⊙O，∠ACB＝90°，AC＝2 3，BC＝1．以 AC 为一边，在 AC 的右侧作等边△ACD，连接BD，交⊙O 于点 E，连接AE，求 BD 和 AE 的长． 解：过 D 作 DF⊥BC，交 BC 的延长线于F △ACD 是等边三角形 ∴AD＝CD＝AC＝2 3，∠ACD＝60° ∠ACB＝90°，∴∠ACF＝90° ∴∠DCF＝30°，∴DF＝ 1 2 CD＝3，CF＝3DF＝3 ∴BF＝BC＋CF＝1＋3＝4 ∴BD＝ BF 2＋DF 2 ＝ 16＋3 ＝19 AC＝2 3，BC＝1，∴AB＝ AC 2＋BC 2 ＝ 13 BE＋DE＝BD，∴AB 2－AE 2 ＋ AD 2－AE 2 ＝BD 即 13－AE 2 ＋ 12－AE 2 ＝19 ∴13－AE 2 ＝19－ 12－AE 2 两边平方得：13－AE 2＝19＋12－AE 2－2 19(12－AE 2) 整理得：19(12－AE 2) ＝9，解得 AE＝ 7 19 57 2．（四川模拟）已知 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，D 为△ABC 外接圆⊙O 上 AC︵ 的中点． （1）如图1，P为 ABC︵ 的中点，求证：PA＋PC＝3PD； （2）如图2，P为 ABC︵ 上任意一点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （1）证明：连接AD D 为AC︵ 的中点，P为 ABC︵ 的中点 ∴PD 为⊙O 的直径，∴∠PAD＝90° A B D C E O A B D C E O F D A P O C B 图1 D A P O C B 图2 ∠B＝60°，∴∠APC＝60° D 为AC︵ 的中点，∴∠APD＝∠CPD＝30° ∴PA＝PD·cos30°＝ 3 2 PD P为 ABC︵ 的中点，∴PA＝PC ∴PA＋PC＝3PD （2）成立 理由如下： 延长 PA 到 E，使 EA＝PC，连接 DE、AD、DC 则∠EAD＋∠PAD＝180° ∠PCD＋∠PAD＝180° ∴∠EAD＝∠PCD D 为AC︵ 的中点，∴AD︵ ＝CD︵ ∴AD＝CD ∴△EAD≌△PCD，∴ED＝PD 过 D 作 DH⊥PE 于 H 由（1）知，∠APD＝30° ∴PH＝PD·cos30°＝ 3 2 PD，PE＝2PH＝3PD PA＋EA＝PE，∴PA＋PC＝3PD 3．（湖北模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，PA、PC 分别切⊙O 于 A、C，CD⊥AB 于 D，PB交 CD 于 E． （1）求证：CE＝DE； （2）若 AB＝6，∠APC＝120°，求图中阴影部分的面积． （1）证明：连接 OP、OC、BC PA、PC 是⊙O 的切线 ∴PA＝PC，∠PAO＝∠PCO＝90° 又 PO＝PO，∴Rt△PAO≌Rt△PCO ∴∠POA＝∠POC，∴∠AOC＝2∠POA 又∠AOC＝2∠ABC，∴∠POA＝∠ABC 又∠PAO＝∠CDB＝90°，∴△P...
