1 第 八 讲 三 角 形 的 重 心 、垂心 、外心 和内心 初中阶段我们已经学习了关于三角形的边和角的许多性质，也涉及三角形边上中线、高线、垂直平分线以及内角平分线的一些性质
例如，线段（如三角形的一边）的垂直平分线上的点和这条线段两站点的距离相等
反之，和一条线段两个端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上；角（如三角形的一个内角）的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
反之，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，诸如此类
涉及一个三角形的三条中线、三条高线、三条边的垂直平分线以及三个内角平分线的性质及相互关系是中学平面几何的重要内容
在高中学习中，会涉及三角形三条中线交点、三条高线交点、三条边的垂直平分线交点以及三个内角平分线交点，即三角形的几个“巧合点”
本节将对这些知识作较系统的阐述
一、三角形的重心 如图 8-1，在△ABC 中，AD、BD 是两条中线，记它们的交点为 G，连接DE、DE 是三角形的中位线
∴DE∥AB，且
21 ABDE ∴∠GAB=∠GDE，∠GBA=∠GED
∴△AGB∽△DGE，且相似比为 2：1
∴AG=2GD，BG=2GE
于是得到关于三角形中线的一个重要性质：三角形的两条中线的交点把这两条中线都分成 2：1 的两段
现在再研究第三条中线与其他两条中线交点有什么特殊性质
图 8-1 图 8-2 2 如图8-2，设△ABC 的两条中线AD、BE 交于G，中线CF、BE 交于G′
由已知的三角形中线的性质，则有BG=2GE，且 BG′=2G′E，CG′=2G′F
∴G′与 G 重合，则三角形的三条中线相交于一点，且该点把三角形的各中线分成长度比为 2：1 的两段，这个交点称为三角形的重心
三角形的重心必在三角形的内部
今后我们也常说：三角形的重心把中线分成 2：1 的两段
例 1 如图8-3，已知 E、F
