传热学：第四章 导热问题的数值求解 1 第四章 导热问题的数值求解 随着计算机的普及应用和性能的不断改善，以及相关的数值计算方法的发展和应用程序的开发，传热学数值计算方法作为数值求解传热问题的有效工具也得到了相应的发展，利用计算机求解传热学问题愈来愈受到人们的普遍重视，而且在计算复杂传热问题中显示出它的优越性，因而成为传热学的一个重要的分支。数值传热的相关内容也很自然地成为工程类学生学习传热学课程的不可缺少的部分。为了使学生能简要地掌握传热学数值计算的基本方法，在这里我们以导热问题为例对传热学数值计算方法做一个简单的介绍。 4-1 导热问题数值解概述 在第二章和第三章中我们对较为简单的导热问题，如一维、二维简单几何形状和边界条件的稳态导热和非稳态导热、以及一些特殊导热问题，象通过肋片的导热和忽略内阻的集总导热系统，进行了分析求解。然而对于一些更为复杂的导热问题，如复杂的几何形状和边界条件以及物性变化较大的情况，分析求解往往很复杂或者根本不可能。此时求解问题的唯一途径是利用数值分析的办法获得数值解。 数值求解通常是对微分方程直接进行数值积分或者把微分方程转化为一组代数方程组再求解。这里要介绍的是后一种方法。如何实现从微分方程到代数方程的转化又可以采用不同的数学方法，如有限差分法、有限元法和边界元法等。作为一本入门的教材，这里仅向读者简要地介绍用有限差分析方法从微分方程确立代数方程的处理过程。有限差分法的基本思想是把原来在时间和空间坐标中连续变化的物理量（如温度、压力、速度和热流等），用有限个离散点上的数值集合来近似表示。有限差分的数学基础是用差商代替微商（导数），而几何意义是用函数在某区域内的平均变化率代替函数的真实变化率。在图4-1 中可以看出有限差分表示的温度场与真实温度场的区别。图中用 T0、T1、T2…表示连续的温度场T；Δ x为步长，它将区域的 x方向划分为有限个数的区域，Δ x0、Δx1、Δ x2…，它们可以相等，也可以不相等。当Δ x相等时，T1处的真实变化率a可以用平均变化率b、c或 d来表示，其中 b、c和 d分别表示三种不同差分格式下的温度随时间的变化率，即： b为向后差分格式xxxTxTdxdT)()(111； Δ x1 0 T3 Δ x2 Δ x3 T2 T1 T0 Δ x0 b d c a x T 图4-1 温度场的有限差分表示 传热学：第四章 导热问题的数值求解 2 c为向前差分格式xxTxTdxdT)()(...
