第四章导热问题的数值解法 1 、重点内容： ① 掌握导热问题数值解法的基本思路； ② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。 2 、掌握内容：数值解法的实质。 3 、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。 §4—1 导热问题数值求解的基本思想及内节点方程的建立 由前述 3 可知，求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。但是，对于工程中几何形状及定解条件比较复杂的导热问题，从数学上目前无法得出其分析解。随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，并得到广泛应用，并形成为传热学的一个分支——计算传热学（数值传热学），这些数值解法主要有以下几种： （１）有限差分法（ 2 ）有限元方法（ 3 ）边界元方法 数值解法能解决的问题原则上是一切导热问题，特别是分析解方法无法解决的问题。如：几何形状、边界条件复杂、物性不均、多维导热问题。 一．分析解法与数值解法的异同点： • 相同点：根 本目的是相同的，即 确 定 ① t=f(x ， y ， z) ； ② 。 • 不同点：数值解法求解的是区 域 或 时 间 空 间 坐 标 系 中离散点的温 度 分布 代 替 连 续 的温 度 场 ；分析解法求解的是连 续 的温 度 场 的分布 特征 ，而不是分散点的数值。 数值求解的基本思路及稳态导热内节点离散方程的建立 二 ．解法的基本概 念 • 实质 对物理问题进行数值解法的基本思路可以概 括 为：把 原来 在时 间 、空 间 坐 标 系 中连 续 的物理量 的场 ，如导热物体 的温 度 场 等 ，用有限个离散点上的值的集 合 来 代 替 ，通 过 求解按 一定方法建立起 来 的关 于这些值的代 数方程，来 获得离散点上被 求物理量 的值。该 方法称 为数值解法。 这些离散点上被 求物理量 值的集 合 称 为该 物理量 的数值解。 2 、基本思路：数值解法的求解过 程可用框 图 4-1 表 示 。 由此 可见 ： 1 ）物理模 型 简 化 成数学模 型 是基础 ； 2 ）建立节点离散方程是关 键 ； 3 ）一般 情 况 微分方程中，某 一变 量 在某 一坐 标 方向 所 需 边界条件的个数等 于该 变 量 在该 坐 标 方向 最 高 阶导数的阶 数。 • 数值求解的步 骤 如图 4-2 （ a ），二 维矩 形域 内无内热源 ...
