第四章微分方程与差分方程方法VIP专享VIP免费

第四章 微分方程与差分方程方法 第一节 微分方程模型 我们在数学分析中所研究的函数,是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系,但我们在构造数学模型时,遇到的大量实际问题往往不能直接写出量与量之间的关系,却能比较容易地建立这些变量和它们的导数(或微分)间的关系式,这种联系着自变量、未知函数及其导数(或微分)的关系式称为微分方程. §4 .1 .1 微分方程简介 这一节,我们将介绍关于微分方程的一些基本概念. 一、微分方程的阶数 首先我们具体的来看一个微分方程的例子. 例 4-1 物体冷却过程的数学模型 将某物体放置于空气中,在时刻0t,测量得它的温度为Cu001 5 0,1 0 分钟后测量得温度为Cu011 0 0.我们要求决定此物体的温度u 和时间t 的关系,并计算 2 0 分钟后物体的温度.这里我们假定空气的温度保持为 Cu02 4. 解:根据物理学中的牛顿冷却定律可知,热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导;一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在介质温度的差值成正比.设物体在时刻t 的温度为)(tuu ,则温度的变化速度可以用 dtdu 来表示.我们得到描述物体温度变化的微分方程 )(uukdtdu (4 .1 .1 ) 其中0k是比例常数. 方程(4 .1 .1 )中含有未知函数u 及它的一阶导数dtdu ,这样的方程,我们称为一阶微分方程.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数. 方程 )(33tfcydtdybdtyd (4 .1 .2 ) 中未知函数最高阶导数的阶数是三阶,则方程(4 .1 .2 )称为三阶微分方程. 二、常微分方程与偏微分方程 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个,我们称这种微分方程为常微分方程;自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程. 方程 0222222zTyTxT (4 .1 .3 ) 就是偏微分方程的例子,其中T 是未知函数,x 、 y 、 z 都是自变量.而方程(4 .1 .1 )(4 .1 .2 )都是常微分方程的例子. 三、线性与非线性微分方程 如果n 阶常微分方程 0),,,,(nndxyddxdyyxF (4 .1 .4 ) 的左端为关于未知函数y 及其各阶导数的线性组合,则称该方程为线性微分方程,否则称为非线性方程.一般的n 阶线性微分方程具有形式 )()()()(1111xfyxadxdyxadxydxadxydnnnnnn (4 .1 .5 ) 其中)1( )(),(nixfxai是关于 x 的已知函数. 当( )0f x 时,称(4 .1 .5 )为 n 阶齐次线性微分方...