第一章 度量空间 1 第一章 度量空间 若在实数集R 中点列nx的极限是x 时，我们使用||nxx来表示nx和x 的接近程度，事实上，||nxx可表示为数轴上nx和x 这两点间的距离，那么实数集R 中点列nx收敛于x 也就是指nx和x 之间的距离随着n 而趋于0，即lim (, )0nnd x x． 于是人们就想，在一般的点集X 中如果也有“距离”，那么在点集X 中也可借这一“距离”来定义极限，而究竟什么是“距离”呢？或者说“距离”的本质是什么？ 诗人顾城的一首诗《远和近》对距离的感受又如何呢？ 远和近 你 一会看我 一会看云 我觉得 你看我时很远 你看云时很近 这首诗诗似乎是纯理性的，十分冷静，但细细品味，其中暗暗催动着一股热流：呼唤一种相互理解、相互信任、和谐融洽的人际关系．现实距离和心理距离并不总是一致的．现实距离很远，但心理距离却可能很近，“海内存知己，天涯若比邻”，即是此意．也可能现实距离很近，而心理距离却很远，所谓“咫尺天涯”大概就是指此而言了．那么如何给出距离这一概念？ 1 .1 度量空间的定义与极限 1.1.1 度量空间的定义与举例 定义 1.1.1 设 X 为一非空集合．若存在二元映射:dXX R ，使得, ,x y zX，均满足以下三个条件： （1）( , )0,d x y 且( , )0d x y 当且仅当 xy (非负性 Positiv ity )； （2）( , )( , )d x yd y x (对称性 Symmetry)； （3）( , )( , )( , )d x zd x yd y z (三角不等式 Triangle inequality)， 则称 d 为X 上的一个距离函数，称 (, )X d为距离空间或度量空间(Metric Spaces)，( , )d x y称为x 和y 两点间的距离．□ 注 1：在不产生误解时，(, )X d可简记为X ． 下面我们来看一些具体的例子 例 1.1.1 欧氏空间nR． 设nR12{(,,,) |,1,2,, }nix xxxR in，定义 21( , )()niiid x yxy． 其中12( ,,,),nxx xx 12(,,,)nyy yynR，可以验证 (, )nRd是一个度量空间． 在证明之前，引入两个重要的不等式． 引理 1.1.1 (许瓦兹(Schwarz)不等式) 任给 2n 个实数1212,,,,,,,nna aa b bb ，有 112222111() ()nnniiiiiiia bab (1.1) 证明 任取实数，则由 1.1 度量空间的定义与极限 2 222211110()2nnnniiiiiiiiiiabba ba 知右端二次三项式的判别式不...
