专题：空间几何体与球关系•一、有关定义•1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.•2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面•体，这个球是这个多面体的外接球.•3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，•这个球是这个多面体的内切球.•二、外接球的有关知识与方法•1．性质：•性质1：外接球球心到多面体各顶点的距离均相等，均为球的半径；•性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；•性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；•性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（结论类比：圆的垂径定理）；•性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；•性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，•两相交弦的中垂线交点是圆心）.•2．结论：•结论1：长方体的外接球的球心在长方体的体对角线的交点处，即长方体的体对角线中点是外接球的球心；•结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；•结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆直径，换言之，•就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；•结论4：圆柱体的上下两底面圆的圆心连线段的中点是的外接球球心；•结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；•结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；•结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；•结论8：圆锥体轴截面（等腰三角形）的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；•结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3．终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；•三、内切球的有关知识与方法•1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.•2．多面体的内切球球心到多面体各面的距离均相等，（类比：多边形的内切圆）；多面体的外接球球心到多面体各顶点的距离均相等（类比：多边形的外接圆）.•3．正多面体的内切球和外接球的球心重合.•4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.•5．基本方法：•（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；•（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）.第一讲柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）【例2】（1）如下图所示三棱锥A—BCD，其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7,ABCDAC则该三棱锥外接球的表面积为___________.第二讲锥体背景的模型类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球O的球面上,∆ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2，则此棱锥的体积为（）类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，PA垂直平面ABC，求外接球半径.设A,B,C,D,是一个半径为4的球面上的四点，∆ABC为等边三角形且其面积为39，则三棱锥A—BCD体积的最大值为（）
