山东建筑大学高数下学期作业第章 12 作业和练习题答案第十二章微分方程1、指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：（1）2"2 '0,xyyyyx e ；不是（2）12121212"()'0,xxxyyyyC eC e ；不是（3）2() "''2 '0,ln().xyx yxyyyyyxy是2、给定一阶微分方程2dyxdx，（1）求出它的通解；解：方程两端积分得通解为2yxC（2）求通过点（ 1，4）的特解；解：将14xy带入通解解得3C,故所求特解为23yx（3）求出与直线23yx相切的解；解：设切点为00(,)xy ，则有0002223xyx，解得0015xy，带入通解解得4C, 故所求特解为24yx（4）求出满足条件102ydx的解。解：由1202xCdx得53C, 故所求特解为253yx3、 写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程：（1） 曲线在点 ( ,)x y 处的切线斜率等于该点横坐标的平方；解：由已知得方程为2dyxdx（2） 曲线上点( , )P x y 处的法线与x轴的交点为Q，且线段 PQ被 y 轴平分。解：由已知Q点的坐标为 (,0)x, 所以12'yxy ，整理得方程为'20y yx4、 求下列微分方程的解：（1）'ln0xyyy；解 ： 分 离 变 量 得lndydxyyx ， 两 端 积 分 得1ln lnlnlnyxC ，整理得cxye ，1()CC（2）2''(')yxya yy ；解：分离变量得21dydxayxa ，两端积分得11ln 1xaCay整理得1ln 1yaxaC ，1()CaC（3）231dyydxxyx y ；解：分离变量得221(1)ydydxyxx ，两端积分得22111ln(1)lnln(1)ln22yxxC ，整理得222(1)(1)xyCx ，21CC ，即22211Cxyx（4）2 30xydyedxy；解 ： 方 程 变 形 为23yxdye edxy, 分 离 变 量 得23xyydye dxe，两 端 积 分 得2311123yxeeC ， 化 简 得2312,(2)3yxeeC CC（5）20(1)0,1xy dxxdyy。解：分离变量得21dydxyx，两端积分得通解为1ln 1xCy，将01xy带 入 通 解 得1C， 故 所 求 特 解 为1ln11yx5、 一曲线通过点（ 2，3），它在两坐标轴的任一切线段均被切点所平分，求这曲线方程。解：由已知的微分方程为2'3xyyxy，方程的通解为Cyx ，将23xy带入通解得6C,故所求曲线方程为6xy。6、 求下列齐次微分方程的解：（1）(lnln)0xxy dyydx；解：方程可变形为lndxxxdyyy ，令xuy ，则, dxduxuyuydydy代入方程得lnduuyuudy，分离变量得(ln1)dudyuuy ，两端积分化简得ln1uCy ，将xuy 代入得通解为 lnln1xyCy即1Cyxye（或111,()C yyeCC ）（2） (12)2(1)0xxyyxedxedyy；解：方程可变形为122(1)xyxydyedxxey，令xuy ，则, dxdux...
