《 线性系统理论 》 课程设计报告书 课题名称 球 杆 系 统 姓 名 孟 禹 漆 铖 刘 泽 文 孟 凡 强 杨 佐龙 日 期 2013 年 2 月 25 日 老 师 陈 玮 1 球杆系统建模分析 本章将对球杆系统进行简单的介绍，然后采用拉格朗日方程建立其数学模型，并在此基础上分析其特性。 1.1 球杆系统介绍 球杆系统（Ball & Beam ）是由球杆执行系统、控制器和直流电源等部分组成。该系统对控制系统设计来说是一种理想的实验模型。正是由于系统的结构相对简单，因此比较容易理解该模型的控制过程。 球杆执行系统（如图 1 所示）由一根 V 型轨道和一个不锈钢球组成。V 型槽轨道一侧为不锈钢杆，另一侧为直线位移电阻器。当球在轨道上滚动时，通过测量不锈钢杆上输出电压可测得球在轨道上的位置。V 型槽轨道的一端固定，而另一端则由直流电机（DC motor ）的经过两级齿轮减速，再通过固定在大齿轮上的连杆带动进行上下往复运动。V 型槽轨道与水平线的夹角可通过测量大齿轮转动角度和简单的几何计算获得。这样，通过设计一个反馈控制系统调节直流电机的转动，就可以控制小球在轨道上的位置。 图1 球杆系统执行机构原理图 1.2 拉格朗日方程介绍 建立一个力学体系的动力学方程所需要的独立坐标称为广义坐标，广义坐标一旦确定，体系在空间的位置状态也就可以唯一确定。广义坐标可以是坐标变量，也可能是是角动量或其他独立变量，凡能用来表述体系的位形、运动和动力学状态的独立参量都可作为广义坐标。广义坐标的条件是：互相独立、满足约束方程、唯一确定体系的位形式动力学状态。 拉格朗日方程方法建模可以表述为：设一个机械系统的自由度为n ，对于系统可以采用广义坐标12(,,...,)nqq qq，12(,,...)nqq qq来描述，记该系统的总体动能为( , )T q q ，总体势能为( )V q ，系统的运动特性可以用以下的拉格朗日方程描述： d1 ,2 ,...,diiiLLintqq (1 .1 ) 其中，方程组中方程式的数目等于质点系的自由度数，i 为作用在第i个广义坐标iq 方向的外部力或力矩之和。 若函数L 表示系统动能T 与势能V 的差值即L=T—V，L 称为拉格朗日函数。即：(,)(,)()LqqTqqVq。 因势能不是广义速度iq 的函数，所以0iVq这样，系统的拉格朗日方程用L 表示为： d1 ,2 ,...,diiiiTTVintqqq (1 .2 ) 显然，拉格...
