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28 §2.3 模糊集合的运算 2.3.1 模糊集合的基本运算 一、模糊集合并、交、补运算 定义2.3.1 模糊集合的包含、相等 设A~ 、B~ 为论域X 上的两个模糊集合，对于X 中每一个元素x，都有)()(~~xxBA，则称A~ 包含B~ ，记作BA~~ 。 如果BA~~ ，且AB~~ ，则说A~ 与B~ 相等，记作BA~~ 。由于模糊集合是通过隶属函数来表征的，模糊集合相等也可用隶属函数来定义。若对于X 上的所有元素x，都有)()(~~xxBA，模糊集合A~与B~ 相等。 定义2.3.2 模糊空集 设A~ 为论域X 上的模糊集合，对于X 中每一个元素x，都有 0)(~xA，则称A~ 为模糊空集，记作A~。 定义2.3.3 模糊集合并、交、补基本运算 设A~ 、B~ 为论域X 上的两个模糊集合，令BA~~ 、BA~~ 、CA~ 分别表示模糊集合A~ 与B~ 的并集、交集、补集，对应的隶属函数分别为BA~~、BA~~、CA~，对于X 的任一元素x，定义： )(V)()(B~A~B~A~xxx (2.3.1) )()()(B~A~B~A~xxx (2.3.2) )(1)(A~A~ Cxx 补算子 (2.3.3) 式中“V”表示取大运算，“ ”表示取小运算，称其为Zadeh 算子。在此定义下，两个模糊集合的并、交实质是在做下面的运算① )](,)(max[B~A~B~A~xx  并算子 (2.3.4) )](,)(min[B~A~B~A~xx  交算子 (2.3.5) 为了加深对模糊集合并、交、补基本运算的理解，现在给出模糊集合A~ 和 B~ ，见图 2.3.1(a)。其中A~ 为高斯分布，B~ 为三角分布，二者的并、交运算结果如图 2.3.1(b)的图 2.3.1(c)所示，当然模糊集合的并、交运算可以推广到任意个模糊集合。而模糊集合A~ 补运算结果见图 2.3.1(d)。 ① 将式(2.3.3)～式(2.3.5)定义的模糊算子分别称为经典模糊补集、并集和交集。 29 1)(~ xAx)(~ xB 01)(~~xBAx (a)模糊集合A~ 和B~ (b) A~ 和B~ 的并 01)(~~xBAx 01)(~xCAx (c) A~ 和B~ 的交 (d) A~ 的补 图2.3.1 模糊集合A~ 与B~ 及其并、交、补运算（实线区域） 为什么要用取大运算求并集，用取小运算求交集？这取决于并集与交集的定义。直观地说，并集的定义是：模糊集合A~ 和B~ 的并集是包含A~ 和B~ 的“最小”的模糊集合。更确切地说，如果C~ 是任意一个包含A~ 和B~ 的模糊集合，则它也包含A~ 和B~ 的并集。而交集的定义是：模糊集合A~ 和B~ 的交集是A~ 和B~ 所包含的“最大”模糊集合...