广义二重积分问题一、广义二重积分问题若区域 D 是平面上的无界区域，),(yxf在区域 D 上连续，则在区域D 上的广义二重积分定义为DDDDdyxfdyxf),(lim),(，其中 D是无重点的连续闭曲线画出的有界闭区域，且闭曲线连续扩张并趋于区域D 。若上式右端极限存在，则称),(yxf在区域 D 上可积， 或称),(yxf在区域 D 上广义二重积分收敛，否则称广义二重积分发散。根据无界区域的特点，熟练掌握下述三种构造有界闭区域D的方法。1、)()(,:,xyxxayxD）（（如图 1 所示）。则构造)()(,:,xyxbxayxD b）（，)()(),(lim),(lim),(xxbabDbDdyyxfdxdyxfdyxfb，2、当)()(,:,yxyycyxD）（（如图 2 所示）。则构造)()(,:,yxydxcyxD d）（，)()(),(lim),(lim),(yydcdDdDdxyxfdydyxfdyxfd，xo)(x)(xDba图 13、当区域 D 是整个 xoy平面或 xoy平面的某一象限或某一角形区域时，则构造角度变化范围）（,:,222RyxyxD R，RDRDdyxfdyxf),(lim),(，例 1 计算二重积分Dy dxdyxe2，其中 D 是由曲线2249xyxy和在第一象限所构成的无界区域，即23,0:,yxydyyxD）（（如图 3 所示）。解：dyyydDydDydydxexdxdyxedxdyxed02/3/][limlim2221445]94[lim2102dyddyeyy。例 2 证明dxex2只需证明2][2dxex即可，而dyedxedxeyxx2222][，为此设)(y)(yDdc图 22yx3yxd图 3oxyRR2图 4},|),{()(}2|),{()2(};|),{()(222222RyRRxRyxRDRyxyxRRyxyxR则，)2()()(RRDR（如图 4 所示）)1()1(222222222)2()()(RRyxRDyxRRyxededeede所以，当 R时，deDyx)(222][222dxedxdyexyx。因此，dxex2。
