下载后可任意编辑第一讲：平面几何——梅涅劳斯定理、塞瓦定理1．背景：Menelaus 定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.2．定理：假如一直线顺次与三角形 ABC 的三边 BC、AC、AB 或其延长线交于 D、E、F三点，则 : 3．说明：（1）不过顶点的直线与三角形3 边的关系有两种情况：①若直线与三角形的一边交于内点，则必与第二边交于内点，与第三边交于外点（延长线上的点）；②直线与三角形的三边均交于外点，因而本定理的图形有两个. （2）定理的结构是：三角形三边上6条被截线段的比，首尾相连，组成一个比值为1 的等式.（3）这个定理反映了形与数的转化，是几何位置的定量描述：“三点共线”量化为比值等于“1”；反过来，若比值等于“1”成立时，可证“三点共线”（逆定理也成立）.4．记忆：.5．证明：（1）简易证法一：（平行线分线段成比例）过作交延长线于， ，∴，，∴，∴.（2）简易证法二：（垂线构造线段成比例）分别过、、作、、垂直已知直线，由直角三角形相似比，易知、、， ∴.（3）其它证法：三角形面积比、正弦定理等方法涉及后面解三角形知识（置后）.6．推广：（1）逆定理：（常用于证明三点共线）假如有三点 D、E、F 分别在三角形 ABC 的三边或其延长线，且满足：，则三点 D、E、F 在同一直线上.1下载后可任意编辑（2）角元形式的梅涅劳斯定理：假如一直线顺次与三角形 ABC 的三边 BC、AC、AB或 其 延 长 线 交 于D 、 E 、 F三 点 ， 则 三 点DEF共 线 等 价 于.7．定理的应用：例题 1 ：已知过顶点的直线，与边及中线分别交于点和，求证：.证明：直线截，由梅涅劳斯定理，得：，又，∴，则.[注]此例证法甚多，如“平行线”、“面积法”等.变式练习１：在△ABC 中，AG 是角平分线，D 是 BC 中点 ， DG⊥AG 交 AB 于 E ， 交 AC 延 长 线 与 F ， 求 证 ：BE=CF=．例题 2 ：已知过重心的直线分别交边、及延长线于点、、，求证：.证 明 ： 连 接并 延 长 交于， 则 截，∴由梅氏定理得，；同理：∴，，2下载后可任意编辑∴，即.变式练习２：（塞瓦（Ceva）定理）在△ABC 内任取一点 O，直线 AO、BO、CO 分别交对边于 D、E、F，求证：．8．逆定理的应用（证明三点共线）：例题 1 ：若的的外角平分线交边延长线于，的平分线交边于，的平分线交边于，则、、三点共线.证明：由三角形内、外角平分线定理知： ，，， 则， ...
