个人赛: 1. 设集合1|),{(abaM,且}mb ,其中Rm.若任意 Mba),(,均有032abab,求实数m 的最大值. 解法1 :(纯代数解法) 由题意得:0)32(bab对于 1a恒成立.(这里看做a 的一次函数) 于是有0)32()1(032bbb,)32(32bbb(*) 构造函数xxgx 2)(,显然)(xg在R 上单调递增,(*)式转化为)1()(gbg, 也就是1b恒成立, 所以1m,即实数m 的最大值为1. 解法2 :(数形结合) 由题意得:bab)32(,abb32对于 1a恒成立.(再把b 看做x) 这里32 xy是不变的,而axy是一条绕着原点旋转的直线,其斜率范围是)0,1[1a,要使得axx 32在 ),(m上恒成立,也就是在 ),(m上无论斜率怎样变化,都要满足直线在曲线上方,那么直线最“陡”时,满足题意即可,也就是当1a时,不等式bb 32恒成立. 以下同解法一. 解法3 :(用必要条件减少范围) 由题意得:当1a时,不等式032abab也应成立,即32 bb,解得1b(过程同解法一),此时032b,从而有32 bba对于 1a恒成立,也就是32maxbba恒成立,也就是132bb恒成立,即32 bb,得1b. 所以1m,即实数m 的最大值为1. 32 xy axy x y O m 2. 在非等腰直角ABC中,已知90C,D 是BC 的一个三等分点,若552cosBAD,求BACsin的值. 解法 1 : 由于点 D 是BC 的三等分点,若点 D 靠近点 B ,则30BAD,即23cosBAD,又因为2352 ,所以点 D 靠近点C . 设BAD,DAC,设hACxBC,3,则 由 题 意 可 得21tan,hxhx3)tan(,tan,因为)tan(tan,所以可得2)(31221hxhx,得到1hx或31hx. 因为xh3,所以xh ,所以10103sinBAC. 综上所述,10103sinBAC. 解法 2 (代数方法): 设bACaBC,3,运用余弦定理可得,2cos222BDADABBAD,即 2222222222222299292552abababaababADABBDADAB或者22ab . 因为ab3,从而得到ab ,又因为2293cosabaB,从而得到10103cossinBBAC. MEDACBQPMEDACBQP3. 如图,在矩形ABCD 中,EbabBCaAB),0,0(,为边BC 的中点,设QP,分别是CDBC,上的点,且满足 PECPQCDQ ,连接AQ与DP 交于点M ,...