1 2 0 0 7 年全国初中数学竞赛试题 班级 座号 姓名 成绩 一、选择题（共5 题，每小题6 分，共3 0 分） 1、方程组126xyxy的实数解的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2、口袋中有20 个球，其中白球9 个，红球5 个，黑球6 个。现从中任取10 个球，使得白球不少于2 个但不多于8 个，红球不少于2 个，黑球不多于3 个，那么上述取法的种数是（ ） A．14 B．16 C．18 D．20 3、已知a、b、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程2220,0,0axbxcbxcxacxaxb恰有一个公共实数根，则222abcbccaab的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 4、已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B，C，且AB、AC 分别相交于点D、E，若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 5、方程323652xxxyy的整数解（x，y）的个数是（ ） A．0 B．1 C．3 D．无穷多 二、填空题（共5 小题，每小题6 分，满分3 0 分） 6、如图，点A、C 都在函数33 (0)yxx的图象上，点B、D 都在x 轴上，且使得△OAB，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为 . 7、如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，CA= 4，点P 是半圆弧 AC 的中点，连接BP，线段 BP 把图形APCB（指半圆和三角形ABC 组成的图形） 2 分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 . 8、如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G = n·90°，则n = . 9、已知点 A，B 的坐标分别为（1，0），（2，0），若二次函数2(3)3yxax的图象与线段 AB 只有一个交点，则a 的取值范围是 . 10、已知对于任意正整数 n，都有312,naaan 则23100111111aaa . 三、解答题（共 4 题，每题 1 5 分，满分6 0 分） 11、已知抛物线 C1：234yxx 和抛物线 C2：234yxx相交于 A，B两点。点 P 在抛物线 C1 上，且位于点 A 和点 B 之间；点 Q 在抛物线 C2 上，也位于点 A 和点 B 之间。 （1）求线段 AB 的长； （2）当 PQ∥y 轴时，求 PQ 长度的最大值。 3 12、已知 a，b 都是正整数，试问关于 x 的方程21 ()02xabxab是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。 4 13、如图，点E，F 分别在四边形ABCD 的边AD，BC 的延长线上，且满足D EADC FBC. 若CD，FE 的延长线相交于点G，△DEG 的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P，连接PA，PB，PC，PD。求证： （1）ADPDBCPC； （2）△PAB∽△PDC. 5 14、（1）是否存在正整数m，n，使得(2)(1) ?m mn n （2）设k（k≥3）是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得 ()(1) ?m mkn n 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6
