微分中值定理与导数应用习题课VIP专享VIP免费

1 / 6 第三章微分中值定理与导数的应用1.微分中值定理：(1)罗尔 Rolle 定理；(2)拉格朗日 Lagrange 定理；推论１：设 I 为区间，如果Ix，有0)(xf，则在 I 上，Cxf)(（常数）．推论２；如果),(bax，有)()(xgxf，则在),(ba内，Cxgxf)()(（常数）．(3)柯西 Cauchy 定理2.洛必塔法则与未定式的计算(1)＂00 ＂型：(2)＂＂型：(3)其它未定式：3.泰勒公式(1)公式：皮亚诺余项，拉格朗日余项．(2)常用的泰勒公式：①)()12()1(53sin212153nnnxonxxxxx!!!②)()2()1(421cos2242nnnxonxxxx!!!2 / 6 ③)(2112nnxxonxxxe!!!④)()1(32)1ln(132nnnxonxxxxx⑤)()1()1(2)1(1)1(2nnxoxnnxxx!4.可导函数单调性的判别法与极值(1)可导函数单调性的判别法：命题１：设],[)(baCxf，并在),(ba内可导，则)(xf在],[ba上单调增加（减少）①),()0)((,0)(baxxfxf②)(xf不在),(ba的任一子区间上恒为零．(2)极值（极值点）的判定方法：①结合单调性讨论；②用二阶导数讨论；(3)极值点，驻点，不可导点之间的关系(从费马定理开始 )．5.求在区间],[ba上连续函数)(xf的最值的一般步骤第一步：求0)(xf的全部实根，记为：mxxx,,,21；第二步：求导数不存在的点，记为：nyyy,,,21；第三步：计 算 函 数 值 ，mixfi,,2,1),(，nyfj,,2,1j),(， 以 及)(),(bfaf；第四步：比较第三步的函数值，最大者为最大值，最小者为最小值．3 / 6 6.函数凹凸性的判别法与拐点(1)函数凹凸性的判别法命题１：设],[)(baCxf，并在),(ba内可导，则)(xf为向上凹)(xf在),(ba内单调增加；（即切线斜率单增）命题２：设],[)(baCxf，)(xf在),(ba内存在，则②),(0)(baxxf)( xf为向上凹．命题３：设],[)(baCxf，并在),(ba内可导，则)(xf为向上凹),(0bax，有：)())(()()(000bxaxxxfxfxf．(2)拐点结合凹凸性讨论．7.曲线的渐近线(1)铅直渐近线若)(lim,)(limxfxfaxax，则ax是曲线)(xfy的铅直渐近线．(2)水平渐近线若,)(limCxfx或,)(limCxfx（ C 为常数），则Cy是曲线)(xfy的水平渐近线．(3)斜渐近线若baxxfaxxfxx])([lim,)(lim或baxxfaxxfxx])([lim,)(lim存在，则baxy是曲线)(xfy的一条斜渐近线．4 / 6 8.函数作图的步骤第一步：求出函数的定义域；第二步：考察函数的奇偶性，周期性；第三步：求出方程0)(xf的全部实根，导数不存在的点，列表判别函数的单调区间与极值点．第四步：求出方程0)( xf的全部实根，导数不存在的点，列表判别函数的凹凸性与拐点．第五步：求出函数的铅直渐近线...