微分方程例题选解VIP专享VIP免费

1 微分方程例题选解1.求解微分方程3ln(ln)0 ,|2x exxdyyx dxy。解：原方程化为xyxxdxdy1ln1，通解为]1[ln1ln1Cdxexeydxxxdxxx]ln[ln1Cdxxxx]ln21[ln12Cxx由ex，23y，得1C，所求特解为11lnln2yxx。2.求解微分方程22'0x yxyy。解：令uxy，uxuy，原方程化为2uuuxu，分离变量得dxxudu12，积分得Cxuln1，原方程的通解为lnxyxC。3.求解微分方程dyyyxdxxyx)()(3223。解：此题为全微分方程。下面利用“凑微分”的方法求解。原方程化为03223dyyydyxdxxydxx，由dyyydyxdxxydxx322342222441)(2141dydyxdxydx)2(414224yyxxd，得0)2(4224yyxxd，原方程的通解为Cyyxx42242。注：此题也为齐次方程。4.求解微分方程2''1( ')yy。解：设yp，则dxdpy，原方程化为21pdxdp，分离变量得dxpdp21，积分得1arctanCxp，于是)tan(1Cxpy， 积分得通解为12ln cos()yxCC 。5.求解微分方程''2 '20yyy。解：特征方程为0222rr，特征根为ir1，通解为12(cossin)xyeCxCx 。2 6.求解微分方程2'''(21)xyyxe。解：对应齐次方程的特征方程为02rr，特征根为01r，12r，齐次通解为xeCCY21。可设待定特解xebaxy2)(*，代入原方程得12)(23xbaxa，比较系数得1a，1b，从而xexy2)1(*，原方程的通解为212(1)xxyCC exe。7.求解微分方程''4xyyxe 。解：对应齐次方程的特征方程为012r，特征根为11r，12r，齐次通解为xxeCeCY21。可设待定特解xebaxxy)(*，代入原方程得xbaxa4)2(22，比较系数得1a，1b，从而xexxy)(*2，原方程的通解为212()xxxyC eC exx e 。8.求解微分方程3'' 6 '9(62)xyyyex。解：对应齐次方程的特征方程为0962rr，特征根为321rr，齐次通解为xexCCY321)(。可设待定特解xebaxxy32)(*，代入原方程得2626xbax，比较系数得1a，1b，从而xexxy323)(*，原方程的通解为332312()()xxyCC x exxe。9.利用“凑微分”的方法求解微分方程0)cos()sin(dyyxdxyyxy。解： 由dyyxdxyyxy)cos()sin(ydyxdyydxydxxydxcossinydxdyydxydxxydxsin)(sin)sin()sin(yxyddxyxy，原方程化为dxyxyyxydsin)sin(，积分得Cxyxyln)sinln(，从而通解为xCeyxysin。10. 选择适当的变量代换求解微分方程xyxyyxtan)1(22。解：设22yxu，则uyyxu，原方程化为xuuutan)1(，分离变量得xdxduutan)111(，积分得Cxuucosln)1ln(，3 原方程的通解为Cxyxyxcosln)1ln(2222。11. 利用代换xuycos将方程xexyxyxycos3sin2cos化简，并求出原方程的通解。解：由xyucos，得xyxyusincos，xyxyxyucossin2cos。原方程化为xeuu4，...