. Word 资料第一章线性微分方程在讲这部分之前，我们先来看一个非常熟悉的物理问题. 一个一维粒子，初始时刻处于点0xx ，初始速度为0v ，受到阻尼作用，求该粒子的运动轨迹. 解：用( )x t 表示粒子在任意时刻t 的位置，根据牛顿第二定律Fma ，有mxF&&对于阻尼作用Fkx&，于是，粒子的运动方程mxkx&&&这是关于时间t 的常微分方程，非常简单.求解得12( )ek tmx tcc结合初始条件0(0)xx ，0(0)xv&，则010mvcxk，02mvck代入得粒子的运动轨迹00( )(1e)k tmmvx txk这就是这门课程的第二部分——数学物理方程所要讨论的内容：将物理问题表述成数学方程，然后用各种方法来求解方程. 1.1 常系数齐次线性微分方程方程的阶：微分方程中未知函数导数的最高阶数. 线性方程：微分方程中对于未知函数及其所有导数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上就称为非线性方程 . 齐次方程：微分方程不含有不包含未知函数的项. 例如 u = 4 uxx; 二阶线性， x2u = uxx; 二阶线性， (ux)2 + u2 = 1; 一阶非线性 . 一、二阶常系数齐次线性微分方程求解二阶线性微分方程( )( )( )yP x yQ x yf x若( )0f x为齐次，( )0f x为非齐次 . 方程ypyqy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程其中 p、q 均为常数 . 能否适当选取r使 y erx满足二阶常系数齐次线性微分方程为此将 y erx代入方程ypyqy 0 得(r2 pr q)erx 0 由此可见只要 r 满足代数方程r2 pr q 0函数 y erx 就是微分方程的解. . Word 资料特征方程：方程r2 pr q 0 叫做微分方程ypyqy 0 的特征方程 .特征方程的两个根r1、r2为21,242ppqr特征方程的根与通解：(1)特征方程的实根r1、r 2不相等时函数11er xy、22er xy是方程的两个线性无关的解，方程的通解为1212eer xr xycc(2) 特征方程的实根r1 r2 时函数11er xy、12er xyx是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解，方程的通解为112()er xycc x(3) 特征方程有一对共轭复根r1, 2i 时函数 y e(i )x、y e(i )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 .函数 y excos x、y exsin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解，方程的通解为y ex(c1cos x c2sin x )例 1 求微分方程y2y3y 0 的通解 . 例 2 求方程 y2yy 0 满足初始条件y|x 0 4、y | x 02 的特解 . 例 3 求微分方程y2y5y 0 的通解 . 二、线性微分方程的解的...
