微分方程建模学习VIP专享VIP免费

1 微分方程建模一般说来，微分方程建模的方法大致可以分为以下的几个步骤：1.根据实际问题的要求确定要研究的量，包括自变量、未知函数、必要的参数等以及它们各自的变化区间；2.列方程。可以在合理假设的前提下，利用导数表示斜率、速度、变化率的实际意义，根据一些基本定理（几何的、物理的、化学的或生物学的等等）或规律，找出未知函数的导数（或微分）与相关各量之间的等量关系式，建立微分方程并确定定解条件（注：如果没有现成的定理可供利用，也可以用微元分析法与模拟近似法列出微分方程）；3.解微分方程；4.对模型的适用性作出评价，即用已知的数据检验微分方程的解是否与实际相符。若结果与实际存在一定的差距，则还要对方程进行修正和调整，直到得出较满意的结果为止。下面，我们就通过一些实例说明微分方程建模的具体步骤。一. 增长模型在自然界和社会的经济活动中，许多量的变化都遵循着一个基本的规律：任一单位时间内的增量都与该量自身当时的大小成正比。运用这一基本规律，就可以建立起各种各样的增长模型。1. 马尔萨斯人口模型严格地讲，讨论人口问题所建立的模型应属于离散型模型。但在人口基数很大的情况下，突然增加或减少的只是单一的个体或少数几个个体，相对于全体数量而言，这种改变量是极其微小的， 因此，我们可以近似地假设人口随时间连续变化甚至是可微的。这样， 我们就可以采用微分方程的工具来研究这一问题。最早研究人口问题的是英国的经济系家马尔萨斯(Malthus )（ 1766— 1834）。他根据百余年的人口资料，经过潜心研究，在1798 年发表的《人口论》中首先提出了人口增长模型。他的基本假设是： 任一单位时刻人口的增长量与当时的人口总数成正比，且比例系数为常数。于是，设 t 时刻的人口总数为)(ty，则单位时间内人口的增长量即为ttytty)()(根据基本假设，有ttytty)()()(tyr（ r 为比例系数）令0t，可得微分方程2 yrdtdy（4.1）这就是著名的马尔萨斯人口方程。若假设0tt时的人口总数为0y ，则不难求得该方程的特解为)(00ttreyy(4.2) 即任一时刻的人口总数都遵循指数规律向上增长。人们曾用这个公式对1700— 1961 达二百六十余年世界的人口资料进行了检验，发现计算结果与人口的实际情况竟然是惊人的吻合！2. 放射性元素衰变模型放射性元素的质量随时间的推移而逐渐减少（负增长），这种现象称为衰变。由物理学定律知，放射性元素任一时刻的衰变速度与该时刻放射性元素的质量成正比。根...