1 微分方程建模一般说来,微分方程建模的方法大致可以分为以下的几个步骤:1.根据实际问题的要求确定要研究的量,包括自变量、未知函数、必要的参数等以及它们各自的变化区间;2.列方程。可以在合理假设的前提下,利用导数表示斜率、速度、变化率的实际意义,根据一些基本定理(几何的、物理的、化学的或生物学的等等)或规律,找出未知函数的导数(或微分)与相关各量之间的等量关系式,建立微分方程并确定定解条件(注:如果没有现成的定理可供利用,也可以用微元分析法与模拟近似法列出微分方程);3.解微分方程;4.对模型的适用性作出评价,即用已知的数据检验微分方程的解是否与实际相符。若结果与实际存在一定的差距,则还要对方程进行修正和调整,直到得出较满意的结果为止。下面,我们就通过一些实例说明微分方程建模的具体步骤。一. 增长模型在自然界和社会的经济活动中,许多量的变化都遵循着一个基本的规律:任一单位时间内的增量都与该量自身当时的大小成正比。运用这一基本规律,就可以建立起各种各样的增长模型。1. 马尔萨斯人口模型严格地讲,讨论人口问题所建立的模型应属于离散型模型。但在人口基数很大的情况下,突然增加或减少的只是单一的个体或少数几个个体,相对于全体数量而言,这种改变量是极其微小的, 因此,我们可以近似地假设人口随时间连续变化甚至是可微的。这样, 我们就可以采用微分方程的工具来研究这一问题。最早研究人口问题的是英国的经济系家马尔萨斯(Malthus )( 1766— 1834)。他根据百余年的人口资料,经过潜心研究,在1798 年发表的《人口论》中首先提出了人口增长模型。他的基本假设是: 任一单位时刻人口的增长量与当时的人口总数成正比,且比例系数为常数。于是,设 t 时刻的人口总数为)(ty,则单位时间内人口的增长量即为ttytty)()(根据基本假设,有ttytty)()()(tyr( r 为比例系数)令0t,可得微分方程2 yrdtdy(4.1)这就是著名的马尔萨斯人口方程。若假设0tt时的人口总数为0y ,则不难求得该方程的特解为)(00ttreyy(4.2) 即任一时刻的人口总数都遵循指数规律向上增长。人们曾用这个公式对1700— 1961 达二百六十余年世界的人口资料进行了检验,发现计算结果与人口的实际情况竟然是惊人的吻合!2. 放射性元素衰变模型放射性元素的质量随时间的推移而逐渐减少(负增长),这种现象称为衰变。由物理学定律知,放射性元素任一时刻的衰变速度与该时刻放射性元素的质量成正比。根...