2010 年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 考试时间：2010 年10 月17 日 8：00—9：20 一、填空题（本题满分 6 4 分，每小题8 分） 1 .函数( )5243f xxx的值域是______________. 2 .已知函数2( cos3)sinyaxx的最小值为 3 ，则实数a 的取值范围是_____________. 3 .双曲线221xy 的右半支与直线100x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是___________. 4 .已知{}na是公差不为 0 的等差数列，{ }nb是等比数列，其中1122533,1,,3ababab，且存在常数, 使得对每一个正整数n 都有lognnab，则 ____________. 5 . 函数2( )32(0,1)xxf xaaaa在区间[ 1,1]x 上的最大值为 8，则它在这个区间上的最小值是___________________. 6 . 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率为_________________. 7 . 正 三 棱 柱111ABCA B C的 9 条 棱 长 都 相 等 ， P 是1CC 的 中点 ， 二 面 角11BA PB, 则sin _____________. 8 .方程2010xyz 满足 xyz的正整数解( , , )x y z 的个数是_____________. 二、解答题（本题满分 5 6 分） 9 .(本小题满分 1 6 分)已知函数32( )(0)f xaxbxcxd a，当01x 时，|( ) | 1fx ，试求 a 的最大值. 1 0 . (本小题满分 2 0 分)已知抛物线26yx上的两个动点11(,)A x y和22(,)B xy,其中12xx且124xx.线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点C ,求△ ABC 面积的最大值. 1 1 . (本小题满分 2 0 分)证明：方程32520xx恰有一个实根r ，且存在唯一的严格递增正整数列{}na，使得31225aaarrr. 2010 年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷） 考试时间：2010 年10 月17 日 9：40—12：10 一、（本题满分 4 0 分） 如图，锐角三角形 ABC 的外心为O ，K 是边 BC 上一点（不是边 BC 的中点），D 是线段 AK 延长线上一点，直线 BD 与 AC 交于点 N ，直线CD 与 AB 交于点 M .求证：若OKMN⊥,则, ,,A B D C 四点共圆. 二、（本题满分 4 0 分） 设 k 是给定的正整数，12rk.记( )( )frf rr r （1）,(1 )( )...
