郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010 年数学试题详解及评分参考2010 年 • 第 1 页 2010 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题详解及评分参考 数 学（一）一．选择题：1 - 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个 是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上. (1) 极限2lim()()()xxxxa xb®¥=-+ (A)1(B)e(C)a be -(D)b ae -【答】 应选 (C) . 【解】 因22lnln()ln()limln()lim()()1/xxxxxxaxbxa xbx®¥®¥---+=-+()()()3222112= limlim1xxab xabxxxaxbabx xaxbx®¥®¥---+-+==--+-，所以2lim()()()xaxbxxa xbe®¥-=-+，故选 (C) . (2) 设函数( , )zz x y=由方程(, )0y zF x x =确定，其中 F 为可微函数，且20F ¢ ¹，则zzxyxy¶¶+=¶¶(A)x(B)z(C)x-(D)z-【答】 应选 (B) . 【解】 在方程两边分别对 x 和对 y 求偏导，得 122211()0yzFzFxx xx¶¢¢-+-=¶，12110zFFxx y¶¢¢+=¶于是有 22()zzxyFzFxy¶¶¢¢+=¶¶， 即zzxyzxy¶¶+=¶¶，故选 (B) .(3) 设,m n 均是正整数，则反常积分210ln (1)mnx dxx-ò的收敛性郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010 年数学试题详解及评分参考2010 年 • 第 2 页 (A) 仅与m 的取值有关(B) 仅与n 的取值有关(C) 与,m n 的取值都有关(D) 与,m n 的取值都无关【答】 应选 (D) . 【解】 显然该反常积分有且仅有两个瑕点0,1xx== ，于是需分成两个积分加以考察： ()()()22211121002ln 1ln 1ln 1mmmnnnxxxdxdxdxxxx---=+òòò(1) 对于()2120ln 1mnx dxx-ò，易见被积函数非负，且只在0x+®时无界，于是 当1n >时，由()+20ln 1lim0mnnxxxx®-=及1201ndxxò收敛，知()2120ln 1mnx dxx-ò收敛； 当1n =时，由21 2/ln (1)1mmnxxx--:及212101mdxx -ò收敛， 知()2120ln 1mnx dxx-ò收敛；(2) 对于()2112ln 1mnx dxx-ò，易见被积函数非负，且只在1x-®时无界，于是 当1m > 时，由2211ln (1)ln (1)lim 1lim01/ (1)mmmnxxxxxxx--®®---==-及11211mdxx-ò收敛，知2112ln (1)mnx dxx-ò 收敛； 当1m =时，由2231/211ln (1)ln (1)lim 1lim0(1)nxxxxxxx---®®---==-及212101mdxx -ò收敛，知2112ln (1)mnx dxx-ò收敛；由此可见，无论正整数,m n 如何取值，()210ln 1mnx dxx-ò都是收敛的，故选 (D)...
