抛物型方程讲义NoVIP专享VIP免费

1 / 4 §1 抛物型方程初值问题一、解的形式推导函数( , )u x t满足( ,0)dduuin RRtuvin R（1）对 u 关于 x 作 Fourier 变换，记为?( , )utF( , )( , ),dixdRutu x t edxR注意到F2 ?(( , ))()( , )( , )dixRutu x t edxutF?( , ) ( )( , )udutttdt于是我们有2??,,0??(, 0 )() ,ddduuRtdtuvR这是一个常微分方程的边值问题，其解为2??(, )()tutve（ 2）又注意到F2224()dxee由（ 2）作 Fourier 逆变换，得到242( , )( , )*(4)( )dxydtRu x tUtvtv y edy（ 3）其中 Gauss 核为242( , )(4)xdtU x tte，也称为该初值问题的基本解. 二、适定性定理 1 若 v 在dR 上有界且连续，则由（3）定义的( , )u x t是初值问题（ 1）的解，且2 / 4 ( , )( ) (0 )u x tv xt当Proof Step 1 将（ 3）中的( , )u x t代入（ 1）中的方程，计算uut，其为 0. Step 2 证明当0( , )(,0)x tx，0dxR 时，0( , )()u x tv x，直接估计0( , )()u x tv x可知 . 将（ 3）记为242( , )( )( )(4)( )dxydtRu x tE t vxtv y edy ，（ 4）其中( )E t 为线性算子 . 注意到221ddxR edx，可知242( , )(4)dx ydtCCRu x ttedy vv即( , ) CCutv，对0t. 这说明( )E t 关于极大模为有界，且算子模为1. 定理 2 由（ 4）定义的解算子( )E t 在 C 中有界，且( )CCE t vv，对0t. 若11( )( )u tE t v ，22( )( )u tE t v ，则1212( )( ) CCu tutvv，对0t. 注 1：定理 1 证明问题 （ 1）的解存在； 定理（2）证明问题 （1）的解( )u t 连续依赖于 v ；由极大值原理证明（1）的解唯一，见后. 注 2：并不是所有问题都有解的连续依赖性. 反例：0,1( ,0)( )sin,txxnuuin RRu xvxnxxRn的解为21( , )sinn tnux tenxn。虽然10 ()ncvnn，3 / 4 但是21( )0 (0)n tnCutentn当，时 。该 例 同 时 证 明 由( , )u x决 定( , 0)u x或( ,) 0)u x （的 反 问 题 是 不 适 定 的（Ill-posed ） . 三、光滑性由（ 3）可知( , )u x t对,0dxRt均为 C. 注意到2422(, )4xdjjttxD D U x ttpet2822xdjtcte，其中222( ),0yyp y ecey，可得2822sup(, )sup( )dddxydjjttRx Rx RD D u x ttv y edy2 sup ( )djx Rctv y即2( )jjtccD D E t vctv，对0t. 注：上述推导说明( )E t 为光滑算子， 也就是说， 即使 v 不光滑，解( , )( )u x tE t v 为 C.但是0t时，解 u 的导数界增大，这也说明了反问题不适定. 当然如果 v 是光滑的， u 的导数界一致有界，且0t时界下降 . 证明如下：在（4）中令 zxy ，则( )( )( , )xD E t vxD u x t242(4)()dzdtxRtDv xz edz( )( )E t D vx于是( )( )jjtccD D E t vD E t v( )jcE tD vjcD v。4 / 4 四、光滑性考虑,( ,0),dtduufin RRuvin R其中( , )ffx t 给定 . 该问题的解为0( , )( )(, )( , )(,)ddtRRu x tv y U xy t dyf y s U xy ts dyds0( )()( , )tE t vE ts ft ds，只要,,v ff 连续且有界 .