抛物线与圆综合题VIP专享VIP免费

抛物线与圆综合题6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（﹣ 1，0），B（4，0），C（0，﹣4），⊙M 是△ABC的外接圆， M 为圆心．（1）求抛物线的解析式；（2）求阴影部分的面积；（3）在 x 轴的正半轴上有一点P，作 PQ⊥x 轴交 BC 于 Q，设 PQ=k，△CPQ 的面积为 S，求S 关于 k 的函数关系式，并求出S 的最大值．解：（1）由抛物线经过A（﹣ 1，0），B（4，0），设抛物线的解析式为： y=a（x+1）（x﹣4），将 C（0，﹣4）代入上式中，得﹣ 4a=﹣4，a=1．∴y=（x+1）（x﹣4）=x2﹣3x﹣4．（2） A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）．∴OB=OC=4 ，OA=1 ∴∠ OBC=45 ° ，∴∠ AMC=90 °∴AM2+MC2=OA2+OC2=12+42=17 ∴AM2=CM2= ，∴S 阴影== π ．（3）∠ OBC=45° ， PQ⊥x 轴；∴BP=PQ=k ，∴S= k?（4﹣k）=﹣ k 2+2k．∴当 k=2 时， Smax=2．7．已知抛物线 y=ax2+bx+3（a≠0）经过 A（3，0），B（4，1）两点，且与 y 轴交于点 C．（1）求抛物线 y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点 C 的坐标；（2）如图（ 1），连接 AB ，在题（ 1）中的抛物线上是否存在点 P，使△PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），连接 AC，E 为线段 AC 上任意一点（不与 A、C 重合）经过 A、E、O 三点的圆交直线 AB 于点 F，当△ OEF 的面积取得最小值时，求点 E 的坐标．解：（1） 抛物线 y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，∴，解得：，∴y= x2﹣ x+3；∴点 C 的坐标为：（0，3）；（2）假设存在，分两种情况：①当△ PAB 是以 A 为直角顶点的直角三角形，且∠ PAB=90° ，如图 1，过点 B 作 BM ⊥x 轴于点 M ，设 D为 y 轴上的点， A（3，0），B（4，1），∴AM=BM=1 ，∴∠ BAM=45 ° ，∴∠ DAO=45 ° ，∴AO=DO ， A 点坐标为（ 3，0），∴D 点的坐标为：（0，3），∴直线 AD 解析式为： y=kx+b ，将 A，D 分别代入得：∴0=3k+b ，b=3，∴k=﹣1，∴y=﹣x+3，∴y= x2﹣ x+3=﹣x+3，∴x2﹣3x=0，解得： x=0 或 3，∴y=3，y=0（不合题意舍去），∴P 点坐标为（ 0，3），∴点 P、C、D 重合，②当△ PAB 是以 B 为直角顶点的直角三角形，且∠ PBA=90° ，如图 2，过点 B 作 BF⊥y 轴于点 F，由（ 1）得， FB=4，∠ FBA=45 ° ，...