抛物线的常见结论一、知识点总结1.抛物线的弦长公式2122122124)(11xxxxkxxkl?，其中 k是弦所在直线的斜率，21, xx是交点的横坐标，本表达式不包含斜率不存在的情况。2122122124)(11yyyymyyml?，其中弦长所在直线方程为bmyx，21, yy是交点的纵坐标，本表达式包含斜率不存在的情况。2.抛物线的焦点弦对于抛物线，022ppxy，，倾斜角为 α的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于A ，B两点，过 A,B 做抛物线准线的垂线，垂足分别为C,D ，那么有：①221221,4pyypxxABFCDOα由222pmyxpxy得0222ppmyy（＊），因此44)(2222121221ppyyxxpyy②焦点弦长pxxAB21，焦点弦长2sin2PABsin4)(sin2122121yyyyyyAB，结合（＊）式与tan1m得：sinsinsinsincos2sin1tan12sin4tan4sin4422222222222pppppmpAB22sin2sinsin12pp③PBFAF211简单证明如下 :pppyypyyPBFAFBFAFBFAF222sinsinsin211221212④焦点三角形面积sin22PS简单证明如下：以AB 为底，以 O到AB 的距离为高，该三角形面积课表示为：sin2sin2sin221sin2122pppOFABSAOB⑤焦点弦相关的几何关系：a.以AF/BF 为直径的圆与y轴相切b.以AB 为直径的圆与准线相切，切点与焦点连线垂直于AB.c.以CD为直径的圆与AB 相切d.A,B 在准线上的投影对F的张角为 90°，90CFDe.以A,B 为切点分别做两条切线，两切线的交点在准线上；在准线上取一点做抛物线的切线，两切点所在直线一定经过抛物线的焦点。3.经过 x轴上一点oa,的直线与抛物线相交与两点2211,:,,:yxByxA，不论其斜率为何值， 都有payyaxx2,21221成立。特别地，当pa2时，0222121paayyxx，此时OBOAOBOA?,0。反之结论亦能成立，当,0,?OBOAOBOApa2,AB 所在直线经过定点0,2 p。二、相关题型总结1、与焦点弦相关的求值问题例1：过抛物线 C：24xy 的焦点 F的直线交 C于A， B两点，若5||4AF，则 ||BF=（）A ．2B． 52C．4D．5例2：已知 F为抛物线212yx 的焦点，过 F作两条夹角为45°的直线1l2l，1l 交抛物线于 A，B两点，2l交抛物线于 C，D两点，则CDAB11的最大值为（）A． 1+24B． 1+22C． 12D. 22例3:已知直线3(1)yx交抛物线24yx 于A ，B 两点（点 A 在 x轴上方），点 F为抛物线的焦点，那么BFAF=（）A ．5 B．4C．3D．2例4：已知抛物线220ypxp，的焦点为 F，过点 F作互相垂直的两直线AB ，CD与抛物分别相交于 A，B以及 C，D，若111BFAF，则四边形 ACBD 的面积的最小值为（）例 5：过抛物线22,0ypx p的焦点做倾斜角为60?...
