数字谜 涉及质数与合数等概念,以及需要利用数的整除特征、分解质因数等数论手段解的数字谜问题． 1.试将1,2,3,4,5,6,7 分别填入下面的方框中,每个数字只用一次: 口口口(这是一个三位数).口口口(这是一个三位数),口(这是一个一位数),使得这三个数中任意两个都互质.已知其中一个三位数已填好,它是714,求其他两个数． 【分析与解】 714=2×3×7×17． 由此可以看出,要使最下面方框中的数与714 互质,在剩下未填的数字2,3,5，6 中只能选 5，也就是说，第三个数只能是5． 现在来讨论第二个数的三个方框中应该怎样填2,3,6 这3 个数字． 因为任意两个偶数都有公约数2,而 714 是偶数,所以第二个的三位数不能是偶数,因此个位数字只能是3.这样一来,第二个三位数只能是263 或 623.但是623 能被 7 整除,所以623 与714 不互质． 最后来看 263 这个数.通过检验可知:714 的质因数2,3,7 和 17 都不是263 的因数,所以714 与263这两个数互质． 显然,263 与5 也互质． 因此,其他两个数为 263 和 5． 2.如图 19-1,4 个小三角形的顶点处有 6 个圆圈.如果在这些圆圈中分别填上 6 个质数，它们的和是20，而且每个小三角形 3 个顶点上的数之和相等.问这6 个质数的积是多少? 【分析与解】 设每个小三角形三个顶点上的数的和都是S.4 个小三角形的和 S 相加时,中间三角形每个顶点上的数被算了 3 次,所以 4S=2S+20,即 S=10． 这样,每个小三角形顶点上出现的三个质数只能是2,3,5,从而六个质数是2,2,3,3,5,5,它们的积是： 2×2×3×3×5×5=900 3.在图 19-2.所示算式的每个方框内填人一个数字,要求所填的数字都是质数,并使竖式成立． 【分析与解】记两个乘数为7a b 和cd 其中a、b、c、d 的值只能取自2、3、5 或7． 由已知条件,b 与c 相乘的个位数字仍为质数,这只可能是b 与c 中有一个是5 另一个是3、5 或7,如果b 不是5,那么c 必然是5,但73×5=365、77×5=385 的十位数字都不是质数.因此 b 是5,c 是3、5、7 中的一个,同样道理,d 也是3、5、7 中的一个． 再由已知条件, 7 5a的乘积的各位数字全是质数,所以乘积肯定大于 2000,满足积大于 2000 且 a、c取质数,只有以下六种情况： 775×3=2325,575×5=2875,775×5=3875,375×7=2625,575×7=4025,775×7=5425． 其中只有第一组的结果各位数字是质数,因此 a=7,c=3，同理,d 也是3． 最终算式即为775×33=25575 4.把一个两位数的个位数字...
