一、基本概念和知识 1.质数与合数 一个数除了1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住：1 不是质数，也不是合数。 2.质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例：把30 分解质因数。 解：30＝2×3×5。 其中 2、3、5 叫做30 的质因数。 又如12＝2×2×3＝22×3，2、3 都叫做12 的质因数。 二、例题 例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 解： 210=2×3×5×7 ∴可知这三个数是5、6 和7。 例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把40 表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17+23=11＋29=3+37。 17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。 ∴所求的最大值是391。 答：这两个质数的最大乘积是391。 例3 自然数123456789 是质数，还是合数？为什么？ 解：123456789 是合数。 因为它除了有约数1 和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。 例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？ 解：如果这连续的九个自然数在1 与20 之间，那么显然其中最多有4 个质数（如：1～9 中有4 个质数2、3、5、7）。 如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5 个.这5 个奇数中必只有一个个位数是5，因而5 是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4 个奇数都是质数。 综上所述，连续九个自然数中至多有4 个质数。 例5 把5、6、7、14、15 这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 解： 5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5， 这些数中质因数2、3、5、7 各共有2 个，所以如把14 （=2×7）放在第一组，那么7 和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（＝3×5）只能放在第一组，则 5 必须放在第二组。 这样14×15=210=5×6×7。 这五个数可以分为14 和15，5、6 和7 两组。 例6 有三个自然数，最大的比最小的大 6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。 分析 先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于42560.40×40×40＝64000，远大于42560.因此，要求的三个自然数在30～40 之间。 解：42560=26×5×7×19 ＝25×（5×7）×（19×2） ＝32×35×38（合题意） 要...
