—— 平面向量小 题 考 法二讲第 平面向量的概念 及线性运算考点 ( 一 )主要考查平面向量的加、减、数乘等线性运算以及向量共线定理的应用. [题组练透] 1．设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝12AB，BE＝23BC，若 DE― → ＝λ1 AB― → ＋λ2 AC― → (λ1，λ2 为实数)，则 λ1＋λ2 的值为________． 解析：如图， DE― → ＝ BE― → － BD― → ＝23 BC― → －12 BA― → ＝23( AC― → － AB― → )＋12 AB― → ＝ 12－23AB― → ＋23 AC― → . 又 DE― → ＝λ1 AB― → ＋λ2 AC― → ，且 AB― → 与 AC― → 不共线． 所以 λ1＝12－23，λ2＝23，所以 λ1＋λ2＝12. 答案：12 2．(2019·无锡期末)在四边形ABCD中，已知AB― →＝a＋2b，BC― → ＝－4a－b， CD― → ＝－5a－3b，其中a，b是不共线的向量，则四边形ABCD的形状是________． 解析： AD― → ＝ AB― → ＋ BC― → ＋ CD― → ＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)，所以AD― →＝2BC― →，即AD∥BC，且AD＝2BC，所以四边形ABCD是梯形． 答案：梯形 3．(2018·南京考前模拟)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2CD，M为CD的中点，N为线段BC上一点(不包括端点)，若 AC― → ＝λ AM― → ＋μ AN― → ，则 1λ＋ 3μ的最小值为________． 解析：以A为坐标原点，AB为x轴建立直角坐标系如图所示，设B(2，0)，C(1，t)，M12，t，N(x0，y0)，因为N在线段BC上，所以y0＝t1－2(x0－2)，即y0＝t(2－x0)，因为 AC― → ＝λ AM― → ＋μ AN― → ， 所以1＝12λ＋μx0，t＝λt＋μy0，即t＝λt＋μy0＝λt＋μt(2－x0)，因为t≠0， 所以1＝λ＋μ(2－x0)＝λ＋2μ－μx0＝λ＋2μ－ 1－12λ ，所以3λ＋4μ＝4，这里λ，μ均为正数，所以41λ＋3μ ＝(3λ＋4μ)1λ＋3μ ＝3＋12＋4μλ ＋9λμ ≥15＋2 36＝27，所以 1λ＋ 3μ≥274 ，当且仅当4μλ ＝9λμ ，即λ＝49，μ＝23时取等号． 所以 1λ＋ 3μ的最小值为274 . 答案：274 [方法技巧] 向量线性运算问题的解题策略 (1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三...
