核心模块四 解析几何微专题十一 圆锥曲线的方程及几何性质 课 时 作 业考 情 分 析圆锥曲线的方程及几何性质作为 C 级考点，每年必考，但基本上都是以中档题形式出现，难度不大． 年份填空题解答题2017T8 双曲线的几何性质T17 椭圆的标准方程2018T8 双曲线的几何性质T18 椭圆的标准方程2019 T7 双曲线的几何性质T17 椭圆标准方程及其几何性质课 时 作 业典 型 例 题 目标 1 圆锥曲线方程的求解 例 1 (1) 已知双曲线 C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为 y＝ 52 x，且与椭圆x212＋y23＝1 有公共焦点，则 C 的方程为________． (2) 点 M(5,3)到抛物线 y＝ax2(a≠0)的准线的距离为 6，那么抛物线的方程是________． (3) 设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 D 在椭圆上，DF1⊥F1F2，F1F2DF1＝2 2，△DF1F2 的面积为 22 ，求该椭圆的标准方程． (1) x24－y25＝1 解析：双曲线 C：x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±bax. 椭圆中：a2＝12，b2＝3，所以 c2＝a2－b2＝9，c＝3，即双曲线的焦点为(±3,0)． 据此可得双曲线中的方程组： ba＝ 52 ，c2＝a2＋b2，c＝3，解得 a2＝4，b2＝5， 则双曲线 C 的方程为x24－y25＝1. 点评：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，再由条件求出 λ 的值即可． (2) y＝ 112x2 或 y＝－ 136x2 解析：抛物线标准方程为 x2＝1ay(a≠0)，当 a＞0 时，开口向上，准线方程为 y＝－ 14a，则点 M 到准线的距离为 3＋ 14a＝6，解得 a＝ 112，则抛物线方程为 y＝ 112x2； 当 a＜0 时，开口向下，准线方程为 y＝－ 14a，则点 M 到准线的距离为－ 14a－3＝6，解得 a＝－ 136，则抛物线方程为 y＝－ 136x2. (3) x22＋y2＝1 解析：设 F1(－c,0)，F2(c,0)，其中 c2＝a2－b2. 由F1F2DF1＝2 2得 DF1＝F1F22 2＝ 22 c. 从而 S△DF1F2＝12DF1·F1F2＝ 22 c2＝ 22 ，故 c＝1. 从而 DF1＝ 22 .由 DF1⊥F1F2 得 DF22＝DF21＋F1F22＝92，因此 DF2＝3 22 ， 所以 2a＝DF1＋DF2＝2 2，故 a＝ ...
