均值不等式的应用VIP免费

1 均值不等式 均值不等式：),(2Rbaabba，当且仅当a=b 时，等号成立。 常用变形：),(2)1(Rbaabba；),()2()2(2Rbabaab 均值不等式在求最值及参数的取值范围等方面有着广泛的应用，对于给定的函数式或多项式在一定的条件下求最值，一般要通过各种变形或转化，然后运用均值不等式解决。下面结合例题分析。求证：)(2222222cbaaccbba abba222 222)()(2baba abba4)(2  )(222baba abba2 的最大值则设babaRba,62,,22 。 2．均值不等式： 若abbaRba2,,那么 （当且仅当时，取ba “=”号） 证明： 语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 2 例2．已知abcdbdaccdabdcba4))((,,,都是正数，求证： 变式一）已知)0,0(232yxyx，则xy 的最小值是 。 变式二）设,310 x求)31(xxy的最大值。 2．若正数ba,满足3baab，则ba 的取值范围是( B ) A. ),9[  B. ),6[  C. )9,0( D. )6,0( 例1、求函数)01(112axxxaxy且的最小值。 【思维过程】 思路：因分母的次数低于分子的次数，可用多项式除法将函数式变形后再运用均值不等式求最值。 解：1)1(11112xaaaxxxaxaxxxaxy 1212211)1(aaaxaxa 当1)1(xaxa即 x=0 时等号成立，1min  y 【误区点拨】 本 题 在 解 答 过 程 中 如 果 选 用 判 别 式法 往 往 会 陷 入 困 境 ：041)24(,01)1(,1222ayayyxyaxxaxyyx。 3 【思维迁移】 分式函数求最值，如果)(xfy可表示为BxgAxmgy)()(的形式，且)(xg在定义域内恒正或恒负，,0,0mA则可运用均值不等式来求最值。 例2、已知191,0,0baba且，求ba 的最小值。 【思维过程】 思路一：将ba 变形为))(91(bababa 解法一：169210991baabba 思路二：由191 ba变形可得,9,1,9)9)(1(baba然后将ba 变形。 解法二：16109210)9)(1(210)9()1(bababa 可以验证：两种解法的等号成立的条件均为12,4ba。 【误区点拨】 常见的错解：abba2①， abba9291 ②，两式相乘得 12 ba，12)(min ba。究其原因是：①和②等号成立的条件不同，...