基本不等式知识点总结与例题讲解VIP免费

基本不等式知识点总结与例题讲解 一、本节知识点 （1）基本不等式. （2）利用基本不等式求最值. （3）基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式. 二、本节题型 （1）利用基本不等式求最值. （2）利用基本不等式证明不等式. （3）基本不等式的实际应用. （4）与基本不等式有关的恒成立问题. 三、知识点讲解 知识点 基本不等式（均值不等式） 一般地,ba,R ,有 22ba ≥ab2. 当且仅当ba 时,等号成立. 特别地,当0,0ba时,分别用ba,代替上式中的ba, ,可得 2ba ≥ab . 当且仅当ba 时,等号成立. 通常称不等式2ba ≥ab 为基本不等式（也叫均值不等式）,其中2ba 叫做正数ba, 的算术平均数,ab 叫做正数ba, 的几何平均数. 基本不等式表明: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 注意 重要不等式22ba ≥ab2与基本不等式2ba ≥ab 成立的条件是不一样的.前者ba, 为任意实数,后者ba, 只能是正数.但两个不等式中等号成立的条件都是ba . 基本不等式的变形 （1）ba ≥ab2,ab ≤22 ba.其中ba,R +,当且仅当ba 时,等号成立. （2）当0a时,aa1≥2,当且仅当aa1,即1a时,等号成立; 当0a时,aa1≤2,当且仅当1a时,等号成立. 实际上,当0a时,aaaa11. aa1 ≥2,∴aa1≤2,即aa1≤2.当且仅当aa1,即1a（0a）时,等号成立. （3）当ba, 同号时,baab ≥2,当且仅当ba 时,等号成立;当ba, 异号时,baab ≤2,当且仅当ba时,等号成立. （4）不等式链: ba112≤ab ≤2ba ≤222ba （0,0ba,当且仅当ba 时,等号成立.） 其中,ba112,ab ,2ba ,222ba 分别叫做正数ba, 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数. 知识点 利用基本不等式求最值 设0,0yx,则有 （1）若Syx（和为定值）,则当yx 时,积 xy取得最大值 42S; （ yx, R +,有xy ≤ 22Syx,∴ xy≤42S.） 和定积最大. （2）若Pxy （积为定值）,则当yx 时,和yx 取得最小值P2. （ yx, R +,有yx ≥xy2,∴yx ≥P2.） 积定和最小. 说明 上述结论可简记为: 和定积最大,积定和最小.即两个正数的和为定值时,可 求出其积的最大值;两个正数的积为定值时,可求出其和的最小值. ...