复变函数论第三版课后习题答案VIP专享VIP免费

第一章习题解答 （一） 1．设132iz，求z 及Arcz 。 解：由于3132iize 所以1z  ，2,0, 1,3Arczkk 。 2．设121,312izz ，试用指数形式表示12z z 及12zz。 解：由于64121,322iiizezie  所以()64641212222iiiiz zeeee 54()146122611222iiiizeeeze。 3．解二项方程440,(0)zaa。 解：1244444(),0,1,2,3kiizaa eaek。 4．证明2221212122()zzzzzz，并说明其几何意义。 证明：由于2221212122Re()zzzzz z 2221212122Re()zzzzz z 所以2221212122()zzzzzz 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z1，z2，z3三点适合条件：0321zzz,1321zzz。证明 z1，z2，z3是内接于单位圆1z的一个正三角形的顶点。 证 由于1321zzz，知321zzz的三个顶点均在单位圆上。 因为 33331zzz  212322112121zzzzzzzzzzzz 21212zzzz 所以， 12121zzzz， 又 )())((122122112121221zzzzzzzzzzzzzz 322121zzzz 故 321 zz， 同理33231zzzz，知321zzz是内接于单位圆1z的一个正三角形。 6．下列关系表示点 z 的轨迹的图形是什么？它是不是区域。 （1） 1212,()zzzzzz； 解：点z的轨迹是1z 与2z 两点连线的中垂线，不是区域。 （2）4zz； 解：令 zxyi 由(4)xyixyi，即2222(4)xyxy，得2x  故点 z的轨迹是以直线2x 为边界的左半平面（包括直线2x ）；不是区域。 （3）111zz 解：令 zxyi， 由11zz，得22(1)(1)xx，即0x ； 故点 z的轨迹是以虚轴为边界的右半平面（不包括虚轴）；是区域。 （4）0arg(1),2Re34zz且； 解：令 zxyi 由0arg(1)42Re3zz，得0arg1423yxx，即0123yxx 故点 z的轨迹是以直线2,3,0,1xxyyx 为边界的梯形（包括直线2,3xx；不包括直线0,1yyx ）；不是区域。 （5）2,1zz且- 3； 解：点 z的轨迹是以原点为心，2 为半径，及以3z 为心，以 1 为半径的两闭圆外部，是区域。 （6） Im1,2zz...