1 / 13 均值不等式及其应用 【第1 课时】 均值不等式 【教学目标】 【核心素养】 1．掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件．（难点） 2．会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数式的大小．（重点） 1．通过不等式的证明，培养逻辑推理的素养． 2．通过均值不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算的素养． 【教学过程】 一、新知初探 1．算术平均值与几何平均值 对于正数a，b ，常把a＋b2 叫做a，b 的算术平均值，把ab 叫做a，b 的几何平均值． 2．均值不等式 （1）当a＞0，b ＞0 时，有a＋b2 ≥ab ，当且仅当a＝b 时，等号成立； （2）均值不等式的常见变形 ①当a＞0，b ＞0，则a＋b ≥ 2 ab ； ②若a＞0，b ＞0，则ab ≤ a＋b22． 二、初试身手 1．不等式a2＋1≥ 2a 中等号成立的条件是（ ） A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 答案：B 解析：当a2＋1＝2a，即（a－1）2＝0，即a＝1 时“＝”成立． 2．已知a，b ∈（0，1），且a≠ b ，下列各式中最大的是（ ） A．a2＋b 2 B．2 ab C．2ab D．a＋b 答案：D 2 / 13 解析： a，b∈（0，1），∴a2＜a，b2＜b， ∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab（a≠b）， ∴2ab＜a2＋b2＜a＋b． 又 a＋b＞2 ab（a≠b），∴a＋b 最大． 3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b 的最小值为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 答案：B 解析： a>0，b>0，∴a＋b≥ 2 ab＝2，当且仅当a＝b＝1 时取等号，故a＋b 的最小值为2． 4．当a，b∈R 时，下列不等关系成立的是________． ①a＋b2 ≥ab；②a－b≥ 2 ab；③a2＋b2≥ 2ab；④a2－b2≥ 2ab． 答案：③ 解析：根据a2＋b22≥ ab，a＋b2 ≥ab成立的条件判断，知①②④错，只有③正确． 三、合作探究 类型1：对均值不等式的理解 例1：给出下面三个推导过程： ① a，b 为正实数，∴ba＋ab≥ 2ba·ab＝2； ② a∈R，a≠0，∴4a＋a≥ 24a·a＝4； ③ x，y ∈R，xy ＜0，∴xy ＋yx＝－－xy ＋－yx≤ －2－xy －yx ＝－2． 其中正确的推导为（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 答案：B 解析：① a，b 为正实数，∴ba，ab为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确． ② a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件， ∴4a＋a≥ 24a·a＝4 是错误的． 3 / 13 ③由xy ＜0，得xy ，yx均为...
