基本不等式教学设计 一、录制内容 同学们，大家好！基本不等式是高中数学教材必修五第三章不等式内容的一个重要组成部分，本节课我要讲的内容是“基本不等式”，我将以“什么是基本不等式→如何证明基本不等式→如何利用基本不等式求最值”为探究线索进行讲解。 首先一起来了解两个概念，如果,a b 为正数，则称2ab为,a b 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数。在有了这样两个概念之后我们可能会比较好奇这两个数之间有怎样的大小关系呢？下面我们分别从代数角度和几何角度来进行证明。 从代数角度比较大小常用的方法就是作差，所以我们不妨先用作差法来探究一下两个正数的算术平均数与几何平均数的大小关系。具体过程分为四个步骤： 第一步作差， 2abab 第二步变形：221 ()()22abab 21 ()2ab 第三步定号：≥0 第四步结论：若a ＞0，b ＞0，则ab ≤2ba （当且仅当ab时，取“=”）。 这里我们得到了一个不等式，它反映了两个正数的算术平均数与几何平均数之间的大小关系，有一定的应用性，所以我们称其为基本不等式。那么如何来证明不等式呢？其实刚才作差探究两者大小关系的过程就给出了基本不等式的一种代数证法。那么基本不等式又有怎样的几何意义呢？一起来看一个图形。 这是2002 年8 月在北京召开的国际数学家大会会标，此会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，之所以用这个作为会标，一方面是因为它看上去像一个风车，象征了中国人民的热情好客，另一方面，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，揭示了很多的数学奥秘，下面我们就利用这个图形反映出来的面积大小关系对基本不等式加以解释。 设直角三角形的一条直角边长为a ，另一条直角边长为b ，则容易得到大正方形边长为ba ，小正方形边长为ab 。需要说明的是，当ba 时，原图中的小正方形消失，四个直角三角形刚好拼成一个完整的大正方形。根据边长可以进一步求得每一个小三角形的面积为2ab ，大正方形面积为ba ，从图形上可以看出大正方形的面积要大于或者等于四个直角三角形面积的和，所以有ba ≥ab2也就是2ba ≥ab ，当且仅当ab时，四个直角三角形面积的和与大正方形的面积相等，也就是 2abab。好，这样我们就借助于图形用几何方法对基本不等式做出了证明。 通过以上的学习可以知道基本不等式是解决最大（小）值问题的有力工具，在利用基本不等式求最...
